Integral lösen

09.12.2017, 19:51

JuliaLa

Integral lösen

Meine Frage:
Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Warum sagt man:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \ \leq \frac{1}{x^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man dazu diesen Schritt zu machen? Warum ausgerechnet $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht wie man hier an diese Aufgabe rangeht

09.12.2017, 20:19

sibelius84

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Hallo JuliaLa,

ist die Aufgabe tatsächlich, das zu berechnen? Oder geht es nur darum, die Existenz der Grenzwerte zu klären?

Was du sagst, klingt mir mehr nach Letzterem: Evtl. bevor man anfängt zu rechnen, zeigt man zunächst, dass das Integral existiert. Dafür schätzt man den Integranden eben nach oben ab mit 1/x^(3/2), weil bereits darüber das uneigentliche Integral von 1 bis Unendlich konvergiert.

Grüße,
sibelius84

09.12.2017, 20:19

forbin

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Was fällt dir auf, wenn du die weggelassenen Terme anschaust? Welches Verhalten haben die?
Wann wird ein Bruch kleiner/größer?

09.12.2017, 20:52

JuliaLa

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Zitat:

Original von forbin
Was fällt dir auf, wenn du die weggelassenen Terme anschaust? Welches Verhalten haben die?
Wann wird ein Bruch kleiner/größer?

ein Bruch wird kleiner wenn der Nenner wächst.

es ist 1/1 > 1/2 > 1/3 usw...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$ wird mit wachsende n größer
Für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} } \end{eqnarray*}$ wird durch wachsender n größer

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ kann ich nichts über n sagen aber mit wachsenden x wird der Bruch kleiner...

aber bei den beiden anderen habe ich nach n geschaut hier nach x...
verwirrt

verstehe nicht ganz

09.12.2017, 21:06

JuliaLa

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Zitat:

Original von sibelius84
Hallo JuliaLa,

ist die Aufgabe tatsächlich, das zu berechnen? Oder geht es nur darum, die Existenz der Grenzwerte zu klären?

Was du sagst, klingt mir mehr nach Letzterem: Evtl. bevor man anfängt zu rechnen, zeigt man zunächst, dass das Integral existiert. Dafür schätzt man den Integranden eben nach oben ab mit 1/x^(3/2), weil bereits darüber das uneigentliche Integral von 1 bis Unendlich konvergiert.

Grüße,
sibelius84

Hallo sibelius84

die Aufgabe lautet "Berechnen Sie" aber weiter im Text fällt der Begriff integrierbare Majorante. weiter im Text heißt es

... daher ist
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$

eine integrierbare Majorante.

Aber ich verstehe nicht, warum man diesen Teil nimmt? Nimmt man genau das, weil es der Teil ohne n ist?
verwirrt

09.12.2017, 23:13

sibelius84

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Zitat:

Original von JuliaLa
ein Bruch wird kleiner wenn der Nenner wächst.

Genau. Also wird er größer, wenn der Nenner schrumpft. Und Abschätzen tut man ja immer aus der worst-case-Perspektive: Wie groß kann der Ausdruck schlimmstenfalls werden?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$ wird mit wachsende n größer

...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ kann ich nichts über n sagen aber mit wachsenden x wird der Bruch kleiner...

Wieso meinst du denn, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$ mit wachsendem n größer wird?

10.12.2017, 12:16

JuliaLa

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Zitat:

Original von sibelius84
[quote]Original von JuliaLa
ein Bruch wird kleiner wenn der Nenner wächst.

Genau. Also wird er größer, wenn der Nenner schrumpft. Und Abschätzen tut man ja immer aus der worst-case-Perspektive: Wie groß kann der Ausdruck schlimmstenfalls werden?

Zitat:

n geht bis unendlich... also im schlimmsten fall unendlich?

Wieso meinst du denn, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{2} * sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$ mit wachsendem n größer wird?

weil ich mich verstippt habe und es pi/n sein sollte und nicht pi/2
Ups

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{n} * sin^{2}(x)} \end{eqnarray*}$

10.12.2017, 12:20

JuliaLa

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Oh nein, ich habe im zitierten Text geantwortet... unglücklich

Zu der Frage: Genau. Also wird er größer, wenn der Nenner schrumpft. Und Abschätzen tut man ja immer aus der worst-case-Perspektive: Wie groß kann der Ausdruck schlimmstenfalls werden?

-->
n geht bis unendlich... also im schlimmsten fall unendlich?

und bei den Ausdreuck habe iuch mich vertippt es sollte pi/n heißen....

10.12.2017, 17:36

JuliaLa

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RE: Integral lösen
Ok ich verstehe immer noch nicht. Sitze lange daran und bin kurz vorm aufgeben

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{\frac{\pi}{n} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \ \leq \frac{1}{x^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Warum auch immer behauptet man, dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

ich ging davon aus, dass wir diesen Teil nehmen weil es nun mal das einzige ist wo kein n vorkommt. Dann durch die Hilfe dachte ich es ist weil er kliner wird wenn x wächst... aber

bin verwirrt.

Intregiere ich diesen kleinen Teil kommt 2 raus (wenigstens etwas was klappt
)

und dann wird behauptet das wegen des Satzes von der majorisierten Konvergenz folgendes gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{1}^{\infty } \!... \, dx =\lim_{n \to \infty } \int_{1}^{\infty } \!... \, dx =\int_{1}^{\infty } \!\frac{1}{\frac{3}{2} } \, dx =2 \end{eqnarray*}$

Glückwünsch. Ich verstehe nur Bahnhof.
Erstaunt1

Hab in Wikipedia was zu diesem Satz gelesen.. Leider hat es mir nicht geholfen

Viele Fragen sind offen. Warum $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$
?
Was steht in den "..."? Bei den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{1}^{\infty } \!... \, dx =\lim_{n \to \infty } \int_{1}^{\infty } \!... \, dx =\int_{1}^{\infty } \!\frac{1}{\frac{3}{2} } \, dx =2 \end{eqnarray*}$

10.12.2017, 19:36

sibelius84

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Der "naive" Weg wäre ja (Vorsicht!, so zunächst mal ohne weitere Begründungen nicht gerechtfertigt - nur um zu illustrieren, wo man hinmöchte):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{\frac{\pi}{2n} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \, dx = \int_{1}^{\infty } \!\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\frac{\pi}{2n} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{1}^{\infty }\frac{1}{ \!0+ 0 +x^{\frac{3}{2} } } \, dx . \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt eben nur, ob man das darf und wenn ja, warum. Dafür muss man vor allen Dingen zunächst mal zeigen, dass das Integral für alle möglichen n (ab einem Index n_0 würde reichen) existiert.

Nun gilt aber ja:
-> die e-Funktion ist (für reelle Argumente) immer und überall größer als 0,
-> Quadrate sind größergleich 0.

Lässt man diese beiden Teile beim Abschätzen also einfach im Nenner weg, so macht man diesen kleiner, und damit den Bruch größer, im Sinne eben der "worst-case-Abschätzung". Das, was herauskommt, ist aber praktischerweise ein Integral, von dem man weiß, dass es existiert. Also hat man für alle n eben das Integral von 1 bis Unendlich über 1/x^(3/2) als integrierbare Majorante.

(Die Funktion 1/x^(3/2) spielt hier also eine doppelte Rolle: zum einen als integrierbare Majorante, und zum anderen dann als Integrand des resultierenden Integrals, das schlussendlich ausgerechnet werden muss.)

10.12.2017, 19:55

JuliaLa

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Hallo Sibelius84, ich versuche grad dein Beispiel nachzuvollziehen, vielen Dank erstmal.

Ich sehe zwischen diesen beiden nicht wirklich den unterschied kannst du mir den Gedanken da erläutern?

Zitat:

Original von sibelius84
Der "naive" Weg wäre ja (Vorsicht!, so zunächst mal ohne weitere Begründungen nicht gerechtfertigt - nur um zu illustrieren, wo man hinmöchte):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{\frac{\pi}{2n} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \, dx = \int_{1}^{\infty } \!\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\frac{\pi}{2n} * sin^{2}(x)+ \frac{1}{n^{2}-n+1}*e^{-x} +x^{\frac{3}{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Danke

10.12.2017, 20:05

sibelius84

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Vertauschung von Grenzwert und Integral:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...na2/node70.html

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