Wahrscheinlichkeitsmaß, Dichte

09.12.2017, 22:51

Susannexyz

Wahrscheinlichkeitsmaß, Dichte

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 1, 2,.. ,6 \right\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ werde mit seiner Potenzmenge als $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra versehen. Gegeben sei das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_{1}(A) = \frac{1}{6} | A | \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} | A | \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente der Menge A bezeichne.

Gegeben sei ferner das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_{2} (\left\{ i\right\} )=\frac{1}{5} \forall i \in \left\{ 1,...,5 \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{2} (\left\{ 6\right\} )= 0 \end{eqnarray*}$

1) Besitzt $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ eine Dichte bzgl. $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ ? Begründe die antwort und gebe die Dichte an

2) Und andersrum?

Meine Ideen:
wie prüfe ich ob etwas eine dichte bezüglich etwas anderes hat?

Also im Fall 1 habe ich 1/5 für die Zahlen 1 bis 5 und 0 für das Ereignis 6 tritt ein. und P1 heißt alle zahlen tretten ein. von 6 Ereignisse sind 5 "sicher" eines sicher nicht... und nun?

10.12.2017, 09:33

SHigh

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RE: Wahrscheinliochkeitsmaß, Dichte
Hallo,

zunächst sollte man einmal die W-maße sauber definieren. Du betrachtetst die Wahrscheinlichkeitsräume

$\begin{eqnarray*} \left(\Omega,\mathbb P(\omega),P_i\right)_{i\in \{1,2\}} \end{eqnarray*}$ ,

wobei für $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb P(\Omega) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P_1(A)=\frac 16 \cdot |A| \end{eqnarray*}$ .

Definiere nun bitte $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb P(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Zur eigentlichen Aufgabe:

Prüfe, ob das eine W-maß jeweils das andere dominiert. Dannach können wirs uns dann an der Dichte versuchen.

Grüße

10.12.2017, 12:39

Susannexyz

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RE: Wahrscheinliochkeitsmaß, Dichte
Na gut, ich versuch es sauber hinzuschreiben.

Ich würde es so schreiben. Vielleicht mit einen Index, aber da ich nicht weiß wie ich das korrekt mache schreibe ich es aus

$\begin{eqnarray*} P_{2}(A)= \begin{cases}\frac{1}{5} &\text{für } 1,2,..,5\\ 0 &\text{für } 6 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Was sagst du SHigh?

10.12.2017, 13:06

SHigh

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RE: Wahrscheinliochkeitsmaß, Dichte

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P_{2}(A)= \begin{cases}\frac{1}{5} &\text{für } 1,2,..,5\\ 0 &\text{für } 6 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Was soll denn "für 1,2,...,5" und "für 6" bedeuten?

Dein Maß ist nicht vollständig definiert. Du betrachtest den W-raum $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,\mathbb P(\Omega),P_2\right) \end{eqnarray*}$ , deshalb muss $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ allen Elementen der $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ Algebra, in deinem Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb P(\Omega) \end{eqnarray*}$ , eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.

Was ist also z.B. mit $\begin{eqnarray*} P_2(\{1,2\}) \end{eqnarray*}$ ?

Prüfe dann, wie bereits gesagt, ob Dominiertheit in die eine oder andere Richtung vorliegt. Argumentiere dann mit Radon-Nikodym.

10.12.2017, 13:14

Susanneexyz

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Omega enthält doch 1,2,3,4,5,6 und das meine ich. 1/5 dass aus Omega 1,2,3,4 oder 5 eintritt. 0 dass aus Omega 6 eintritt.

Dann f#ällt noch auf:
P_1 (6) ist größer 0 und P2(6) =0 also scheint 2 nicht zu funktionieren

10.12.2017, 13:17

Susannexyz

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den Satz verstehe ich nicht de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Radon-Nikod%C3%BDm

10.12.2017, 13:23

SHigh

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Im Prinzip hast du Recht, mir war nur wichtig, dass du verstehst, was z.B. mit $\begin{eqnarray*} P_2(\{1,2\}) \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Ist das klar?

Zitat:

P_1 (6) ist größer 0 und P2(6) =0 also scheint 2 nicht zu funktionieren

Was scheint hier warum nicht zu funktionieren?
Wenn dir Radon-Nikodym nichts sagt, dann wird es sehr schwierig. Ich weiß nicht, wie man sonst auf die Schnelle argumentieren könnte, dass in 1) eine solche Dichte existiert.

Schaue bitte nochmal in deinen Unterlagen nach, das ist ein zentraler Satz!

10.12.2017, 13:38

IfindU

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@SHigh Die Dichte anzugeben ist immer ein schöner Existenzbeweis Augenzwinkern

10.12.2017, 13:42

SHigh

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Das stimmt wohl Big Laugh

. Da habe ich mit wohl zu sehr auf das

Zitat:

1) Besitzt $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ eine Dichte bzgl. $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ ? Begründe die antwort

versteift. Sorry, bin schon ne Weile raus aus der Uni :/.

10.12.2017, 13:48

Susannexyz

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Hm, kann ich sagen dass dann 2*1/5 gilt? Also 1/5 dass 2 eintritt und 1/5 dass 1 eintritt? Mein Gedanke: Es sind nun 2 Elemente aus Omega die ich erhalten kann, also vergrößert sich meine Chance.

zu "was scheint nicht zu funktionieren und warum?":

P_1 scheint keine Dichte bezüglich P2 zu haben, denn $\begin{eqnarray*} P_{1}\left(\left\{6\right\}\right) >0 \end{eqnarray*}$ nämlich 1/6 aber $\begin{eqnarray*} P_{2}\left(\left\{6\right\}\right) =0 \end{eqnarray*}$
So jetzt kommt mein Gedanke (Achtung kann Chaotisch sein, ich versuche zu formulieren wie es in meinem Kopf aussieht) Ich denke P2 hat eine Chance Dichte von P1 zu sein... intuitiv würde ich behaupten es sei 6/5... Aus P2 kann ich Elemente von 1-5 aus Omega mit eine !75 Chance treffen. A1 hat 6 Elemnte die getroffen werden können. Also kann ich 6/5 Elemente treffen in der Richtung 12 nach 1. Das 6te Element eben die 6 kann nicht getroffen werden. 1/6 * (Anzahl der Elemente der Menge A) also 176 mal 5

Aber in der Richtung P1 nach P2 geht es nicht, den die 6 kjann nicht getroffen in P2...

Oh Gott... kann man meine Gedanken verfolgen?

10.12.2017, 14:14

SHigh

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Zitat:

Hm, kann ich sagen dass dann 2*1/5 gilt? Also 1/5 dass 2 eintritt und 1/5 dass 1 eintritt? Mein Gedanke: Es sind nun 2 Elemente aus Omega die ich erhalten kann, also vergrößert sich meine Chance.

So ungefähr. Es gilt $\begin{eqnarray*} P_2(\{1,2\})=\frac 25 \end{eqnarray*}$

Zitat:

P_1 scheint keine Dichte bezüglich P2 zu haben, denn $\begin{eqnarray*} P_{1}\left(\left\{6\right\}\right) >0 \end{eqnarray*}$ nämlich 1/6 aber $\begin{eqnarray*} P_{2}\left(\left\{6\right\}\right) =0 \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

(Achtung kann Chaotisch sein, ich versuche zu formulieren wie es in meinem Kopf aussieht

Chaotisch triffts ganz gut!

Fang doch mal so an: Es gilt eine Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass für alle $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb P(\Omega) \end{eqnarray*}$ folgende Gleichung erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} P_2(A) \overset{!}= \sum_{\omega\in A} f(\omega)P_1(\omega)\overset{warum?}=\frac 16 \sum_{\omega \in A}f(\omega) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du eine Fallunterscheidung machen (welche?), dann kannst du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmen.

10.12.2017, 14:19

Susannexyz

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Ah, hab was gefunden zum Satz von Randon- Nikodym

$\begin{eqnarray*} \left(\Omega, \mathcal A\right) \end{eqnarray*}$ Meßraum

$\begin{eqnarray*} \mu, v \end{eqnarray*}$ Maße auf $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich

Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. Jede $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Nullmenge ist eine $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -Nullmenge
2 $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ besitzt eine Dichte bezüglich $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Das macht mein Kopfchaos versuch etwas zu erläutern einfacher.

Dann kann ich sagen $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ besitzt eine Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ , diese ist $\begin{eqnarray*} f(i) =\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in {1,2,..,5} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} f(6)=0 \end{eqnarray*}$

Denn die Nullmenge Die Nullmenge in $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ istlaut Ran-Nik auch eine Nullmenge in $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$

Andersrum geht es nicht, denn $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ hat keine Nullmenge, also kann es keine Nullmenge tragen...

Richtig?

10.12.2017, 14:31

SHigh

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Zitat:

Denn die Nullmenge Die Nullmenge in $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ istlaut Ran-Nik auch eine Nullmenge in $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ Andersrum geht es nicht, denn $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ hat keine Nullmenge, also kann es keine Nullmenge tragen... Richtig?

Nicht wirklich, aber ich denke du meinst das richtige.

Zu 1): Jede Nullmenge von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ ist auch gleichzeitig Nullmenge von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ ja gar keine Nullmenge (von der trivialen leeren Menge mal abgesehen) besitzt. Damit besitzt nach R-N. $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ eine Dichte bezüglich $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ .

Zu 2): Wie du bereits geschrieben hast: $\begin{eqnarray*} \{6\} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge bezüglich $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ , jedoch gilt $\begin{eqnarray*} P_1(\{6\}) > 0. \end{eqnarray*}$ Damit besitzt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ keine Dichte bezüglich $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ .

Zurück zur Dichte:

Zitat:

Dann kann ich sagen $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ besitzt eine Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ , diese ist $\begin{eqnarray*} f(i) =\frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in {1,2,..,5} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} f(6)=0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt, allerdings musst du das schon begründen/nachrechnen.

10.12.2017, 16:49

Susannexyz

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Zitat:

Original von SHigh

Zurück zur Dichte:

Zitat:

Das stimmt, allerdings musst du das schon begründen/nachrechnen.

Nachrechnen? Wie? ich habe nur 1/5 *6 genommen verwirrt

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