Vektor w nicht im Span von u,v, dann sind u,v,w linear unabhängig

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BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor w nicht im Span von u,v, dann sind u,v,w linear unabhängig
Meine Frage:
Hi, ich bin neu hier. Ich möchte die Aufgabe mit euch zusammen lösen.

Es sei V ein K-Vektorraum, die Menge linear unabhängig und . Zeigen Sie , dass entweder ist oder linear unabhängig ist.

Meine Ideen:
Ich habe ein Problem die Aufgabe allgemein zu lösen.
Ich weiß, dass lineare Unabhängigkeit bedeutet: , für .
Und dass wenn w im Span von der Menge {u,v} liegt, es genau ein und ein geben muss, um w zu konstruieren. Aber wie schreibe ich das allgemein auf?
Muss ich mit Vektoren arbeiten? zB.: u=(1,0,0)T und v=(0,1,0), aber dann wäre es nicht allgemein für alle K-Vektrorräume sondern nur für den z.B:.R3.

Edit (mY+): LaTeX berichtigt, ansonsten ist das schlecht lesbar! Du musst die Terme in LaTeX-Tags einschließen, und ausserdem heißt es beta anstatt betta.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
allgemein zeigen dass wenn Vektor w nicht im Span von u,v ist dann muss u,v,w linear unabhängig sein
Zitat:
Original von BamBamBam
Ich weiß, dass lineare Unabhängigkeit bedeutet: \alpha *v +\beta*u +\gamma*w =0 , für \alpha,\betta,\gamma =0.

Das ist schon falsch oder zumindest ungenau. Korrekt lautet es:

Die Vektoren u, v, w sind linear unabhängig genau dann, wenn gilt:

Nimm an, die Vektoren u,v,w sind linear abhängig. Was muß dann gelten? Folgere daraus, daß w im Span ({u,v}) liegt.
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn
a,b,c K und
u,v,w linear abhängig dann

au*bv*cw=0 -> w ist genau dann im Span wenn c ungleich 0 ist
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme jetzt allerdings nicht weiter. Tanzen
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn
a,b,c K und
u,v,w linear abhängig dann

au*bv*cw=0 -> w ist genau dann im Span wenn c ungleich 0 ist /w ist nicht im Span wenn es gleich 0 ist /a=b=0, weil in der Aufgabe steht, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind

angenommen w ist nicht im Span
dann kann ich durch c teilen

a/c u + b/c v +w =0

umstellen

w=-a/c u -b/c v

jetzt haben wir einen Widerspruch

w = 0 weil ja a=b=0 ist
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BamBamBam
...
u,v,w linear abhängig dann

au*bv*cw=0 -> w ist genau dann im Span wenn c ungleich 0 ist


Es sollte wohl au + bv + cw = 0 lauten?
______________________

Zitat:
Original von BamBamBam

angenommen w ist nicht im Span
dann kann ich durch c teilen
...

.. mit "nicht" war dies hoffentlich auch nur ein Schreibfehler?

mY+
 
 
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos du hast in beiden Fällen Recht
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand bitte noch einen Tipp geben?
BamBamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier als Anhang meinen Ansatz.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Um formale Fallstricke (Division durch Null) zu vermeiden, würde ich so vorgehen:

Seien die Vektoren {u, v, w} linear abhängig. Dann gilt a*u + b*v + c*w = 0, wobei wenigstens ein Linearfaktor ungleich Null ist. Jetzt mußt du die Fälle c=0 und c ungleich Null separat untersuchen. Für c ungleich Null kannst du deine Rechnung nehmen und die Gleichung nach w umstellen. Daraus folgt, daß dann .
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