Matrix Eigenschaft mit Hilfe des Gaußalgorithmus

10.12.2017, 13:19	ph97	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Eigenschaft mit Hilfe des Gaußalgorithmus Guten Tag, ich möchte Hilfe, um diese Aufgaben zu beweisen. Es sei K ein Körper. Zeige mit Hilfe des Gaußalgorithmus, dass für jede Matrix $\begin{eqnarray} A \in K^{m \times n} \end{eqnarray}$ eine Matrix $\begin{eqnarray} C \in K^{d \times m} \end{eqnarray}$ (für ein $\begin{eqnarray} d \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ) mit folgender Eigenschaft existiert: $\begin{eqnarray} b \in K^{m \times 1} \end{eqnarray}$ ist genau dann in $\begin{eqnarray} Bild(\widetilde{A}) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} Cb = 0 \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \widetilde{A} \end{eqnarray}$ ist die induzierte lineare Abbildung von A Ich habe momentan Schwierigkeiten, wie ich anfangen soll. Danke im Voraus.
10.12.2017, 13:27	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gauß-Algorithmus liefert eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} SA \end{eqnarray}$ in strikter Zeilenstufenform ist. Schreibe $\begin{eqnarray} SA = \begin{pmatrix} X \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X\in K^{r\times n} \end{eqnarray}$ ohne Nullzeilen und einer $\begin{eqnarray} (m-r)\times n \end{eqnarray}$ -Nullmatrix darunter. Gleichsam kann man $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}S_1 \\ S_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S_1 \in K^{r\times m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2 \in K^{(m-r)\times m} \end{eqnarray}$ . Unterscheide die zwei Fälle $\begin{eqnarray} r=m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r < m \end{eqnarray}$ und betrachte im letzteren Fall die Matrix $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ . Anmerkung: Es gibt zu dieser Aufgabe eine weitere Diskussion unter Lineare Abbildung, Matrix, Bild Dort scheint man sich aber noch nicht so ganz sicher über den richtigen Weg zu sein.

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