Grenzwerte des Integrals bestimmen

10.12.2017, 14:44

Andre231

Grenzwerte des Integrals bestimmen

Meine Frage:
Hallo!

zu Berechnen ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty }\int_{0}^{\infty } \! \frac{dx}{1+x^{m} } \, dx \end{eqnarray*}$

Wobei ich dafür den Satz von der majorisierten Konvergenz nutzen soll.

Meine Ideen:
Ich muss dafür ja erstmal eine Funktion g finden für die gilt :
$\begin{eqnarray*} | f_{n} | \leq g \end{eqnarray*}$ fast überall.

Dann kann ich benutzen, dass ich den limes in das Integral schreibe aber ich weiss nicht richtig wie mir das dann weiterhelfen soll. Muss ich dann den Grenzwert dieser Folge bestimmen und dann das Riemannintegral "normal ausrechnen"?

Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Mfg

10.12.2017, 15:16

HAL 9000

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Sei $\begin{align*} f_n(x) = \frac{1}{1+x^n} \end{align*}$ . Dann gilt für alle $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ die Ungleichnung $\begin{align*} |f_n|\leq g \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} g(x) := \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; x\leq 1\\ \frac{1}{x^2} &\;\mbox{für}\; x>1\end{cases} \end{align*}$ wählt.

10.12.2017, 17:13

Andre231

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Danke für deine Antwort,

dann kann ich den Satz schon anwenden oder?
Ich habe allerdings Schwierigkeiten dann den Grenzwert der Folge zu bestimmen und würde mal behaupten, dass es doch irgendwie von x abhängt geschockt

10.12.2017, 17:36

HAL 9000

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Du redest von $\begin{align*} \lim_{m\to\infty} \frac{1}{1+x^m} \end{align*}$ ? Dieser Grenzwert darf durchaus von $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängen, warum auch nicht.

10.12.2017, 17:51

Andre231

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Dann weiss ich aber nicht wirklich, wie ich das Integral dann berechnen soll, ich kann doch mit der gefundenen Majorante schon den Satz benutzen oder?

11.12.2017, 14:21

andre231

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Kann wer weiterhelfen?

11.12.2017, 14:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Andre231
Dann weiss ich aber nicht wirklich, wie ich das Integral dann berechnen soll

Wo ist denn das Problem? Kannst du $\begin{align*} \lim_{m\to\infty} \frac{1}{1+x^m} \end{align*}$ nicht berechnen, oder wie, oder was? Es ist

$\begin{align*} \lim_{m\to\infty} \frac{1}{1+x^m} = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; 0\leq x<1\\ \frac{1}{2} & \;\mbox{für}\; x=1\\ 0 & \;\mbox{für}\; x>1\end{cases} \end{align*}$ ,

und das Integral über diese Funktion kannst du doch berechnen, oder das etwa auch nicht?

11.12.2017, 14:45

andre231

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Ja das habe ich ja schon aber für x<=-1 ist es nicht definiert oder wie?

11.12.2017, 14:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von andre231
aber für x<=-1 ist es nicht definiert

Ungeheuer interessant angesichts dessen, dass wir über das Integral $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \end{align*}$ reden... Finger1

11.12.2017, 15:01

andre231

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Verstehe ich nicht, wieso betrachten wir nicht x<0?

11.12.2017, 15:16

HAL 9000

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Das ist jetzt nicht dein Ernst oder? DU warst es im Eröffnungsbeitrag, der die Integralgrenzen vorgegeben hat. Forum Kloppe

Zitat:

Original von Andre231
zu Berechnen ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty }{\color{red}\int_{0}^{\infty }} \! \frac{dx}{1+x^{m} } \, dx \end{eqnarray*}$

11.12.2017, 15:20

andre231

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Tut mir Leid, aber ich verstehe nicht, wieso aus den Integralgrenzen folgt, dass x>=0 ist.

11.12.2017, 15:24

HAL 9000

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Mann, Mann, Mann... Welche Bedeutung besitzen denn Funktionswerte f(x) für x<0, wenn man ein Integral berechnet, dessen Integrationsintervall gar keine x<0 enthält? Gar keine!!!

Du solltest dir Nachhilfeunterricht in Gymnasial-Analysis geben lassen, da scheint doch einiges im argen zu liegen. geschockt

P.S:: Ist das hier "Verstehen Sie Spaß?", und du willst den Helfer durch dumme Fragen zur Weißglut treiben? Hast es fast geschafft.

11.12.2017, 15:29

andre231

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Ja gut wir betrachten den Fall gar nicht Big Laugh

.
Ja ich bin die letzten Tage gedanklich schon im Weihnachtsurlaub und stelle mir da banale Fragen die ich mir vor 5 jahren nicht gestellt hätte..

Naja Danke!

11.12.2017, 15:43

HAL 9000

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Na wie groß ist denn nun $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \lim_{m \to \infty}\frac{1}{1+x^m} ~ \dd x \end{align*}$ ? Und wo wir dabei sind: Wie groß war denn oben das Integral $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} g(x) ~ \dd x \end{align*}$ über die Majorante $\begin{align*} g(x) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; x\leq 1\\ \frac{1}{x^2} &\;\mbox{für}\; x>1\end{cases} \end{align*}$ ?

Hätte ich gern mal als Rückkopplung, damit ich weiß, ob überhaupt irgendwas von dem angekommen ist, was ich hier gepostet habe.

11.12.2017, 16:00

andre231

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Für x<=1 ist es unendlich und für x>1 ist es 0.
Integral über die Majorante habe ich nicht berechnet da ich ja die zweite Aussage des Satzes benutze.

11.12.2017, 16:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von andre231
Für x<=1 ist es unendlich und für x>1 ist es 0.

Der Integralwert ist eine Zahl, und damit nicht von irgendeinem ominösen x abhängig.

Aber eine Antwort auf meine Bedenken ist es dennoch: Nichts, gar nichts ist angekommen - schade um die verschwendete Zeit. Dabei ist es mit

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \lim_{m\to\infty} \frac{1}{1+x^m} = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; 0\leq x<1\\ \frac{1}{2} & \;\mbox{für}\; x=1\\ 0 & \;\mbox{für}\; x>1\end{cases} \end{align*}$

ein Einzeiler:

$\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \lim_{m\to\infty} \frac{1}{1+x^m} ~ \dd x = \int\limits_0^1 1 ~ \dd x = 1 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von andre231
da ich ja die zweite Aussage des Satzes benutze.

Ich weiß nicht, was du damit meinst. Ich weiß nur, dass man die Endlichkeit des g-Integrals nachweisen muss, um die Vertauschung Integral - Grenzwert durchführen zu dürfen! Und eine kurze Rechnung ergibt $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} g(x) ~ \dd x =2 \end{align*}$ , also endlich wie gewünscht.

11.12.2017, 16:47

andre231

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Der Grenzwert der Folge ist von x abhängig 1,1/2 , 0 wieso setze ich diese Grenzwerte dann nicht einfach jeweils in das integral von 0 bis unendlich ein und rechne aus?

11.12.2017, 16:58

Leopold

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11.12.2017, 17:10

andre231

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Danke Leopold,

Eine Frage noch:

Müsste es dann nicht streng genommen lim_p->1 integral(0,p) 1 sein?
Aber das sollte wohl gegen 1 gehen ja Big Laugh

11.12.2017, 17:19

HAL 9000

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Du bist eine einziges großes Erstaunt1

, wirre Gedanken verbunden mit wirrer Symbolik noch und nöcher.

11.12.2017, 17:40

andre231

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Ich meine da x ja 1 nicht annimmt also müsste man int (1,1)1/2 dx addieren.. aber im ersten fall ist es ja 0<=x<1 ist also addiert man all diese Integrale oder nicht.

Ich finde es schade, dass durch deine Aussagen Leute hier immer weiter verunsichert werden, (Stichpunkt banale Prinzipien) und geradezu runtergeputzt werden. Da wurde der Slogan des Boards nicht wirklich wahrgenommen.
Das ist übrigens nicht nur bei mir der Fall.
Würde ich dir gerne als Kritik mit auf den Weg geben.

P.S.: Man stelle sich mal eine didaktische Person vor, die jegliche Aussagen den Studierenden vorwirft.

Trotzdem vielen Dank, ob es für dich verschwendete Zeit ist, schade dann ist das hier vielleicht nichts richtiges, ich habe durchaus was gelernt.

11.12.2017, 23:15

Leopold

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Aber der Vorwurf geht auch an dich zurück. Beiträge wie dieser hier:

Zitat:

Original von andre231
Müsste es dann nicht streng genommen lim_p->1 integral(0,p) 1 sein?
Aber das sollte wohl gegen 1 gehen ja

sind wirklich nicht hilfreich. Kein Mensch versteht, was du damit sagen willst. Das ist einfach nur wirr (ich habe allerdings eine Ahnung, worin die Problematik bestehen könnte). Irgendwie scheinst du bei der ganzen Lebesgue-Theorie verdrängt zu haben, welche anschauliche Bedeutung ein Integral hat. Der Graph oben zeigt doch alles. Die Fläche unter dem Graphen hat den Wert 1. Dazu braucht man nichts anderes als hinzuschauen: Zunächst ist die einzelne Stelle $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(1) = \frac{1}{2} \end{align*}$ für den Integralwert ohne Bedeutung. Von 0 bis 1 ist der Flächeninhalt 1 und von 1 bis unendlich ist er 0. Alles zusammen also 1.

11.12.2017, 23:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von andre231
Ich finde es schade, dass durch deine Aussagen Leute hier immer weiter verunsichert werden, (Stichpunkt banale Prinzipien) und geradezu runtergeputzt werden. Da wurde der Slogan des Boards nicht wirklich wahrgenommen.
Das ist übrigens nicht nur bei mir der Fall.
Würde ich dir gerne als Kritik mit auf den Weg geben.

Das sind mir die liebsten Kunden, die mich bevormunden wollen. So wie die anderen vor dir solltest du lieber dran arbeiten, mehr Energie in die Darstellung deiner Gedanken zu legen: Es ist nämlich diese Nachlässigkeit/Faulheit, die oftmals diese Darstellungen unverständlich werden lassen - und das erzeugt dann diese Frustration bei mir, die micht zum "Runterputzen" bringt: Wut über diese Faulheit.

So z.B. hier:

Zitat:

Original von andre231
Integral über die Majorante habe ich nicht berechnet da ich ja die zweite Aussage des Satzes benutze.

Welche zweite Aussage? Habe ich oben schon gefragt - keine Antwort.

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