ggT von einer Matrix

10.12.2017, 14:53

makkiv

ggT von einer Matrix

Guten Tag zusammen,

Die Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb Z^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligem Inversen, also $\begin{eqnarray*} A^{-1} \in \mathbb Z^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: Ist $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} d=ggT(a,b) \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich bin mir wirklich nicht sicher. Wieso brauchen wir überhaupt das Inverse?

10.12.2017, 15:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von makkiv
Zu zeigen: Ist $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} d=ggT(a,b) \end{eqnarray*}$

Etwas leichtfertig, was das Vorzeichen betrifft: Man kann wohl allenfalls $\begin{eqnarray*} |d|=ggT(a,b) \end{eqnarray*}$ nachweisen. Augenzwinkern

10.12.2017, 15:09

makkiv

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Wie genau? verwirrt

10.12.2017, 15:20

HAL 9000

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Setze doch einfach mal $\begin{align*} A = \begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix} \end{align*}$ mit zunächst unbekannten ganzen Zahlen $\begin{align*} r,s,t,u \end{align*}$ an. Dann überlege dir, was man aus Bedingung $\begin{align*} A^{-1}\in\mathbb{Z}^{2\times 2} \end{align*}$ für diese vier Zahlen folgern. Schließlich kann man damit dann aus $\begin{align*} A\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d\\ 0\end{pmatrix} \end{align*}$ einige elementare zahlentheoretische Schlüsse ziehen (mit Standard-Teilbarkeitsbetrachtungen).

10.12.2017, 23:48

makkiv

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Kannst du mir weiter Tipps geben? Ich habe es versucht aber verstehe noch nicht was ich da machen muss.

11.12.2017, 11:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von makkiv
Ich habe es versucht

Davon sehe ich nur nichts. unglücklich

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