Komplement

Neue Frage »

Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplement
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Sei und
ein linearer Unterraum von V . Man bestimme das Komplement (den komplementären Raum)
von U.
Wie muss ich da vorgehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist nur etwas ungewöhnlich geschrieben. Schreiben wir , dann kommst du sicher auf die richtige Antwort. Allerdings ist das Komplement nicht eindeutig bestimmt, du wirst also nicht den Komplementärraum sondern einen Komplementärraum finden. Tipp: Basisergänzung.
 
 
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich diese beiden Vektoren in eine Matrix spaltenweise schreibe und die normierte ZSF bilde, komme ich auf (1,0,0,0) und (0,0,0,0) als Spalten. Dann kann ich diese Nullspalte rauswerfen und dann den Vektor (0,1,0,0) einfügen als Spalte.

Dann wäre das Komplement also:

U={ a(1,0,0,0) + b (0,1,0,0) }
oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung verstehe ich nicht. Ich komme nicht auf einen Nullvektor, und ich habe auch noch nie einen Vektor rausgeworfen, so etwas macht man nicht. Das Komplement von U kann nicht U sein und nicht U heißen.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe dann als Ergebnis U* als Bezeichung für den komplementären Unterraum zu U:

U*={ c(1,0,0,1) + d (0,1,0,0) }

Wie würdest du es denn machen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(1,0,0,1) ist in U, kann also nicht im Komplement sein. Ich würde es genau so machen wie du, einfach probieren, aber ich würde nicht in jeden Versuch einen Fehler einbauen. Augenzwinkern
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Es müsste dann folgendes gehen:

U*={c(0,0,1,0) +d(0,0,0,1)}
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bleibt nur noch ein Schönheitsfehler zu korrigieren. Wer oder was ist c und d ? Tipp: beachte, wie ich U als Menge geschrieben habe. Das ist nicht Zufall sondern Absicht. Halbe Sachen sind wertlos. Lehrer
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das U*={(0,0,a,b)}?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder nur halb richtig. Siehe Schreibweise in der Aufgabe.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie soll es dann sein? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vektorraeume sind Mengen. Du musst unbedingt lernen, wie man Mengen schreibt. Halb richtig und halb falsch ist falsch.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement
Also dann so :

Soll ich dann noch begründen, dass es wirklich das Komplement ist?
Dazu muss ich ja zeigen, dass der Schnitt von U und U* der Nullraum ist
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht als Menge schon gut aus. Nur ist das nicht , und du sollst auch nicht finden, sondern ein Komplement von , das hattest du schon mal genannt.
Die Wahl der Parameter und ist auch nicht sonderlich glücklich. Sonst wäre , und das kann offensichtlich nicht sein.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement
Also dann so :

Dann würde ich es so schreiben.

Soll ich dann noch begründen, dass es wirklich das Komplement ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sieht die Menge gut aus. Merke: Nur saubere Schreibweisen haben in der Mathematik Aussicht auf Erfolg.
Ich weiß, warum das ein Komplement von U ist. Weißt du es auch ?
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schnitt von U+U* ist der Nullraum und die Summe U+U* = V.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. Kannst du es auch beweisen ? (Denke daran, dass isch jede falsche Schreibweise gnadenlos kritisieren werde. Augenzwinkern )
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also der 1.)

Nachweis:


Betrachtung der folgender Matrix, in der die Vektoren spaltenweise eingetragen werden und Herstellung der ZSF:




Nach elementaren Zeilenumformungen erhalte ich:



daraus folgt

und auch U+U*=V
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da finde nicht einmal ich einen Fehler, allerdings dürfen die Schlußfolgerungen gerne etwas genauer begründet werden.
Meines Erachtens benutzt der einfachste Beweis die Dimensionen der Vektorräume:
Wenn die Begriffe Basis und Dimension noch nicht bekannt sind, kann man auch einen einfachen Beweis über die Begriffe Erzeugendensystem (EZS) und Span() für führen.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis. Freude
Wenn ich die vllt noch eine Aufgabe zeigen dürfte:
Also f ist injektiv, wenn ker f trivial ist. D.h ich muss das lineare Gls 4x+ay=0, -x-y=0....lösen.
Schreibe ich dann die Koeffzienten zeilenweise in die Matrix. Also für mich wäre es so logisch. Wir machen das in den Übungen immer spaltenweise?

Also ich hätte dann folgende Matrix.

4 a
-1 -1
3. 3
2. 2

Die kann ich in ZSF überführen in Abhängigkeit von a.
Muss ich dann die Fälle a=0 und a ungleich 0 unterscheiden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Und jetzt musst du eine sinnvolle Fallunterscheidung machen.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir.
Für a=4 ist f injektiv, den der Kern ist dann trivial. Für alles andere nicht injektiv oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

oder Big Laugh Das nennt man Fettnäpfchen Finger1
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du damit. Wegen meiner Unsicherheit?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Zweifel sind erlaubt. Die Antwort ist so falsch, wie sie falscher nicht sein kann.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Für a=5 habe ich eine 1 in a22. Dann kriege ich nach einer Umformung meine ZSf und damit die Injektivität.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Na eben ...
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Und die anderen Fälle?
Es geht doch auch a=3
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ja ...
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

f ist injektiv für a ungleich 4.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bekomme ich eine Basis vom ker und bild?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nur Kern und Bild berechnen, dann wirst du leicht Basen finden. Achte darauf, ob a=4 ist oder nicht. Wenn nicht, ist der Kern 0, also die Basis die leere Menge.
Boogie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a=4, dann ist

D.h eine Basis wäre B={(1,-1)}
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eine Basis des Kerns für a=4. Der Dimensionssatz verrät dir nun, welche Dimension die Bilder haben. Achte darauf, ob a=4 ist oder nicht.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Für a=4 brauche ich 3 linear unabhängige Vektoren.
Für brauche ich 4 linear unabhängige Vektoren.

Wie ist der Ansatz diese zu finden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So viele Vektoren wirst du nicht finden, denn der Dimensionssatz lehrt

Ist eine lineare Abbildung, so gilt

Es ist doch ziemlich offensichtlich, dass man einen 2-dimensionalen Vektorraum nicht raumfüllend in einen 4-dimensionalen Vektorraum abbilden kann. Aus einer Ebene wird kein Hyperraum, schon gar nicht, wenn ein Teil davon (der Kern) annulliert wird. Man könnte den kleineren Vektorraum zusammenknüllen, um den größeren Vektorraum damit auszufüllen, aber Zusammenknüllen ist keine lineare Abbildung.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h ich finde für das Bild entweder 2 oder 1 je nachdem was a ist. Aber wie ist denn der Ansatz diese zu finden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach. Bilde 1 oder 2 linear unabhängige Vektoren ab, die nicht im Kern liegen. Fertig.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »