Randwertproblem Stabilität

10.12.2017, 21:04	19Alex94	Auf diesen Beitrag antworten »
Randwertproblem Stabilität Meine Frage: Hallo, ich versuche den folgenden Beweis zu verstehen. $\begin{eqnarray} u(x)= \int_{0}^{1} \! G(x,s)f(s) \, ds \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G(x,s)=(1-x)s <br /> \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq s\leq x\leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x,s)=(1-s)x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq s\leq 1<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt gilt $\begin{eqnarray} \|u(x)\|=\|\|u(x)\|\|_1\leq \|\|f\|\|_q \|\|G(x,.)\|\|_p=\|\|f\|\|_q (\frac{1}{1+p})^{\frac{1}{p}}(1-x)x <br /> \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \frac{1}{p} +\frac{1}{q} =1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p,q,k\in [1,\infty ) \end{eqnarray}$ nach Hölder. Bis hier hin ist mir alles klar. Nach meinem Skript folgt aus der obrigen Aussage $\begin{eqnarray} \|\|u\|\|_k\leq C_p \|\|f\|\|_q (\frac{k}{(2k+1)(k+1)})^\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Kann mir jemand diese Folgerung erklären. Im Allgemeinen gilt doch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_k\geq \|\|x\|\|_1 \end{eqnarray}$ . Wie kommt auf den Term $\begin{eqnarray} (\frac{k}{(2k+1)(k+1)})^\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ ?

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