Dritte Wurzel aus 2 = algebraisch von Grad 3

11.12.2017, 08:52	tihwd5471	Auf diesen Beitrag antworten »
Dritte Wurzel aus 2 = algebraisch von Grad 3 Meine Frage: Zu zeigen ist, dass die dritte Wurzel aus 2 algebraisch von Grad 3 ist, indem man die Gleichung a(drittewurzelaus2)^2+b(drittewurzelaus2)+c=0 mit (drittewurzelaus2) multipliziert und die resultierende Gleichung erneut damit multipliziert. Dabei nehmen wir an, dass a,b,c ganze Zahlen sind. Meine Ideen: Aufgefallen ist mir bereits, dass es sich am Anfang um ein Polynom zweiten Grades handelt, was sich auch durch das Multiplizieren nicht ändert, da sich die dritte Wurzel mit einem Exponent von drei immer gegenseitig aufhebt.
11.12.2017, 10:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[3]2 \end{eqnarray}$ ist sicher ganz-algebraisch über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , weil es ein Polynom 3. Grades aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ mit Leitkoeffizient 1 gibt. Für diese Aufgabe genügt es also zu zeigen, dass keine algebraische Gleichung 1. oder 2. Grades $\begin{eqnarray} \sqrt[3]2 \end{eqnarray}$ als Nullstelle hat.
11.12.2017, 10:38	tihwd5471	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber inwiefern hilft mir die Multiplikation der oben genannten Gleichung mit der dritten Wurzel aus 2 dabei?

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