P(X) wie F2

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Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »
P(X) wie F2
Meine Frage:
Die Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) P(X) einer Menge X hat die Struktur
eines F2-Vektorraums auf die folgende Art und Weise:
Die Skalarmultiplikation mit a Element von F2 = {0, 1} wird definiert durch 1 · U := U, 0 · U = leer.
1. Zeigen Sie, dass die Vektorraumaxiome erfuellt sind.
2. Sei nun X = {1, . . . , n} und sei V der F2-Vektorraum P(X). Wir setzen fuer
i = 1, . . . , n vi := {1, . . . , i} Element von V .
Zeigen Sie, dass v1, . . . , vn eine Basis von V ist.
3. Seien X, V wie in Teilaufgabe 2. Geben Sie eine Basis w1, . . . , wn von V an, fuer die |w1| + · · · + |wn| den minimal moeglichen Wert annimmt, wobei |v| die Anzahl der Elemente von v Element von V bezeichne.

Meine Ideen:
1.
Skalarmul.: Wenn U in X und P(X), ist auch U und leer in X , P(X). Also ist P(X) abgeschlossen gegenüber der Skalarmultiplikation.
Addition: Wenn U, V in P(X) ist auch die disjunkte Vereinigung in P(X). Abgeschlossenheit ggüber Addition.
Also ist P(X) ein Vektorraum.

2.
Ich verstehe nicht, was das bedeutet? - Haben die so definierten Vektoren nicht unterschiedliche Dimension, sprich v1 = {1}, v2 = {1,2}, ..?? Natürlich kann eine Kombination nicht den 0-Vektor ergeben ohne alle Vektoren zu 'leer' werden zu lassen. Kann das die Antwort sein?

3.
w1 = {1} , w2 = {2} , .... ??

Bitte hat jemand einen (tiefergehenden) Tip !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: P(X) wie F2
Zitat:
Original von Opher19782808
Skalarmul.: Wenn U in X und P(X), ist auch U und leer in X , P(X). Also ist P(X) abgeschlossen gegenüber der Skalarmultiplikation.
....


Das ist unverständliches Kauderwelsch. Im übrigen scheinst du dich hier um die Abgeschlossenheit der Operationen kümmern zu wollen. Aber die ist doch trivial. Nein, du mußt die Vektorraumaxiome nachweisen: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, neutrales Element, inverse Elemente für die Vektorraumaddition, und dann noch die Gesetze der skalaren Multiplikation. Zur Assoziativität siehe zum Beispiel hier.

Zitat:
Original von Opher19782808
2.
Ich verstehe nicht, was das bedeutet?


Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Für den Spezialfall sollst du nachweisen, daß die Vektoren



eine Basis bilden. Mir ist aufgefallen, daß



gilt (mit der Zusatzdefinition ). Und für disjunkte ist . Damit kann man zeigen, daß die ein Erzeugendensystem bilden.
Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: P(X) wie F2
Also zB Komm. bzgl. Addition: Vereinigung ist Komm., also auch diese Addition?
Bzgl. Ass.: Disjunkte Vereinigungen sind assoziativ?
Kann ich es so sagen? Ich weiß nicht wie ich es für Ass. anders aufschreiben soll.
Ist das inverse Element dieser Addition gerade die Menge selbst, sprich U + U , weil die leere Menge das neutrale Element ist?
Diesbzgl. muss ich ja nur die Existenz zeigen. Reichte dann so, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: P(X) wie F2
Zitat:
Original von Opher19782808
Also zB Komm. bzgl. Addition: Vereinigung ist Komm., also auch diese Addition?


Die Addition ist ja nicht die reine Vereinigung, sondern die Vereinigung ohne den Schnitt. Die Kommutativität ist aufgrund der Definition der Addition jedoch offensichtlich.

Zitat:
Original von Opher19782808
Also zB Komm. bzgl. Addition: Vereinigung ist Komm., also auch diese Addition?
Bzgl. Ass.: Disjunkte Vereinigungen sind assoziativ?


Das sind sie. Aber das wäre natürlich zu zeigen. Eine Möglichkeit habe ich dir bereits mit einem Link gegeben (siehe voriger Beitrag). Zeichnet man ein Venn-Diagramm für und für , sieht man, daß nur die Bereiche, die genau einer der drei Mengen angehören, sowie der Durchschnitt der drei Mengen übrigbleiben.

Zitat:
Original von Opher19782808
Ist das inverse Element dieser Addition gerade die Menge selbst, sprich U + U , weil die leere Menge das neutrale Element ist?


Richtig, . Und kannst du dann aufgrund der Definition der Addition unmittelbar erkennen.

EDIT
Aussage über Venn-Diagramm korrigiert.
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