Obermenge eines Erzeugendensystems

Neue Frage »

Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Obermenge eines Erzeugendensystems
Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum, Ferner [...] sei M ein Erezugendensystem von V. Beweisen oder widerlegen Sie:
(d): Jede Obermenge von M ist ein Erezugendensystem.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war, dass die Aussage wahr ist, denn wenn ich einfach noch Vektoren in M mit rein nehme, kann ich ja - mit den bereits vorhandenen Einheitsvektoren - immernoch alle Vektoren meines Vektorraums erzeugen.

Allerdings ist mir dann aufgefallen, dass ich ja auch Vektoren eines anderen Vektorraums mit in meine Menge nehmen könnte.

Als Beispiel: R² als R-Vektorraum und M={(1,0),(0,1)} als Erezugendensystem.

Dann ist O:={(1,0),(0,1),(0,0,1)} eine Obermenge von M.

In der Definition des Erzeugendensystem heißt es: Eine Teilmenge M von V ist ES, wenn <M>=V gilt.

O ist aber weder Teilmenge von R² noch ist <O>=R². Was mich zu dem Schluss bewegt hat, dass O kein ES von R² ist.

Ich bin mir aber nicht sicher, da ich ja trotzdem jeden Vektor aus R² mit den Vektoren aus O bilden kann. Spielt es eine Rolle für ein ES, wenn man damit noch "zusätzliche" Vektoren bilden kann?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst dir hier unnötigerweise Gewissensbisse. Mit Sicherheit sind hier mit Obermengen nur Teilmengen von V gemeint, die das gegebene Erzeugendensystem umfassen.
 
 
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde natürlich Sinn machen. Weil es bei der Aufgabe um Teil- und Obermengen von einem ES und einer linear unabhängigen Teilmenge geht.

Allerdings würde mich das jetzt schon interessieren:
Muss eine Menge M Teilmenge eines Vektorraums sein, um ein Erzeugendensystem dieses Vektorraums sein zu können?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke dir für die schnelle Antwort!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »