Beweis, dass eine Zahl nicht in Q liegt

11.12.2017, 16:25

Croomer

Beweis, dass eine Zahl nicht in Q liegt

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Fassen sie R nacheinander als R-Vektorraum bzw. Q-Vektorraum auf und prüfen Sie jeweils, ob $\begin{eqnarray*} M_{1}:=\left\{{1, \sqrt{2}}\right\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} M_{2}:=\left\{{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}}\right\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Meine Ideen:
Dass M1 und M2 in R nicht linear unabhängig sind, ist mir klar.

Dass M1 in Q linear unabhängig ist auch, denn es muss gelten
$\begin{eqnarray*} 1a+b\sqrt{2}=0 <=> a=-b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Was ein Widerspruch wäre für a und b ungleich 0, weil sonst eine nichtrationale Zahl gleich einer rationalen Zahl wäre.

Ich kann mir auch denken, dass
$\begin{eqnarray*} 1a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0 ; a,b,c \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung hat.
Allerdings müsste ich ja irgendwie beweisen, dass $\begin{eqnarray*} b\sqrt{2}+c\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine nichtrationale Zahl ist.

Ich bin mir nicht sicher, aber dass zwei nichtrationale Zahlem addiert auch eine rationale Zahl ergeben könnte, allerdings fällt mir gerade kein Beispiel ein.

Oder gilt doch, dass da auch immer eine nichtrationale Zahl rauskommt?

11.12.2017, 16:56

005

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RE: Beweis, dass eine Zahl nicht in Q liegt

Zitat:

Original von Croomer
Ich bin mir nicht sicher, aber dass zwei nichtrationale Zahlem addiert auch eine rationale Zahl ergeben könnte, allerdings fällt mir gerade kein Beispiel ein.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0 \end{eqnarray*}$

Es gilt aber immer: irrational + rational = irrational und irrational * rational = irrational. (Letzteres wenn der rationale Faktor nicht null ist.)

11.12.2017, 16:58

Croomer

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RE: Beweis, dass eine Zahl nicht in Q liegt
Ok, danke dir! Das war genau, was ich gesucht habe smile

11.12.2017, 19:00

Elvis

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es fehlt noch eine kleinigkeit :

$\begin{eqnarray*} b\sqrt 2+c\sqrt 3=r\in \mathbb Q\Rightarrow 2b^2+bc\sqrt 2\sqrt 3+3c^2=r^2\in \mathbb Q\Rightarrow \sqrt 6\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Übrigens sind die Mengen in Vektorräumen über Körpern l.a. oder l.u. , nicht $\begin{eqnarray*} in \end{eqnarray*}$ Körpern.

11.12.2017, 20:44

Croomer

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Zitat:

Original von Elvis
es fehlt noch eine kleinigkeit :

$\begin{eqnarray*} b\sqrt 2+c\sqrt 3=r\in \mathbb Q\Rightarrow 2b^2+bc\sqrt 2\sqrt 3+3c^2=r^2\in \mathbb Q\Rightarrow \sqrt 6\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Das ist ein Widerspruchsbeweis, oder?
Angenommen es gelte, $\begin{eqnarray*} b\sqrt 2+c\sqrt 3=r\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} 2b^2+bc\sqrt 2\sqrt 3+3c^2=r^2\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Es müssen also alle Summanden in Q liegen, also gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt 6\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Ein Widerspruch, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt 6 \end{eqnarray*}$ liegt nicht in Q. Also liegt auch
$\begin{eqnarray*} b\sqrt 2+c\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ nicht in Q.

Zitat:

Original von Elvis
Übrigens sind die Mengen in Vektorräumen über Körpern l.a. oder l.u. , nicht $\begin{eqnarray*} in \end{eqnarray*}$ Körpern.

Stimmt, das muss ich auf jedenfall anders aufschreiben. Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast.

11.12.2017, 21:04

005

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Ein Widerspruch entsteht nur fuer $\begin{eqnarray*} bc\ne0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Und dann fehlt offensichtlich immer noch eine Kleinigkeit, weil man ja auf $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ kommen soll. smile

11.12.2017, 21:29

Croomer

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Wenn b oder c gleich 0 ist, dann hätte ich ja wieder eine rationale Zahl plus eine irrationale Zahl. Daraus folgt dann dass auch das übrige b/c 0 sein muss.
Dann bleibt nurnoch a übrig und a muss 0 sein, weil die Gleichung sonst nicht erfüllt wäre.

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