Strikt diagonaldominante Matrizen sind invertierbar

11.12.2017, 19:52	donky	Auf diesen Beitrag antworten »
Strikt diagonaldominante Matrizen sind invertierbar Meine Frage: Hallo und einen schönen Abend :-) Eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ ist strikt diagonaldominant , wenn gilt : $\begin{eqnarray} a_{j,j} > \sum \limits_{k=1,k \neq j}^n \| a_{j,k} \|, \forall 1 \leq j \leq n \end{eqnarray}$ Äquivalent dazu ist: Es existiert ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{j,j} \geq \delta + \sum \limits_{k=1,k \neq j}^n \| a_{j,k} \|, \forall 1 \leq j \leq n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu zeigen ist, dass jedes $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ mit dieser Eigenschaft invertierbar ist und dass man die Zeilensummennorm iher Inversen mit $\begin{eqnarray} \|\| A^{-1} \|\|_{ \infty} \leq \frac{1}{ \delta } \end{eqnarray}$ abschätzen kann. Ich hätte jetzt den Ansatz, dass man zeigt, dass sie Spalten linear unabhängig sind..aber bin bisher auf keinen grünen Zweig gekommen.. Freue mich über jede Hilfe
12.12.2017, 12:30	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es würde reichen zu zeigen, dass 0 kein Eigenwert der Matrix ist (mithin ist ihr Kern trivial und sie invertierbar). Das könntest du bei strikt diagonaldominanten Matrizen z.B. mit Hilfe von Gerschgorin-Kreisen tun. Tatsächlich sind symmetrische, strikt diagonaldominante Matrizen sogar positiv definit (denn bei symmetrischen Matrizen weiß man ja von vorneherein, dass alle Eigenwerte reell sind). Falls deine Matrix sogar symmetrisch ist, hättest du mit obigem Argument direkt gezeigt, dass sie positiv definit ist, woraus die Invertierbarkeit sofort folgt. Mit Gerschgorin-Kreisen würde auch folgen $\begin{eqnarray} \text{Re }\lambda\geq\delta \end{eqnarray}$ für jeden Eigenwert lambda. Die Eigenwerte sind ja das, was in der diagonalisierten Matrix auf der Diagonale steht. Entsprechend sind die Kehrwerte der Eigenwerte das, was in der diagonalisierten inversen Matrix auf der Diagonale steht. Zusammen damit, dass symmetrische Matrizen immer orthogonal diagonalisierbar sind und Multiplikation mit orthogonalen Matrizen wegen Winkel- und Längenerhaltung nichts an ihrer Norm ändert, dürfte das ggfs. die zweite Behauptung liefern. LG sibelius84
12.12.2017, 15:46	donky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sibelius84 ( liebe übrigens seine Violinkonzerte ), ja, das mit den Gerschgorin-Kreisen habe ich auch gelesen. Aber da wir die nicht in der Vorlesung behandelt haben, darf ich die wohl nicht benutzen :-( LG
12.12.2017, 19:30	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Allein für die Invertierbarkeit könnte man evtl. noch einen anderen Weg finden, aber bei der Aussage mit dem delta wüsste ich nicht, wie man das ohne die tollen Kreise tun könnte... zumal die Aussage auch wirklich so einfach ist, dass sie und ihr Beweis auch durchaus mal Studenten einfallen könnte Man muss nur drauf kommen, aus einem Eigenvektor x die betragsgrößte Komponente x_i auszuwählen und sich die i-te Zeile der Gleichung $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ sauber herauszuschreiben. Dann kann man $\begin{eqnarray} \lambda x_i \end{eqnarray}$ auf die linke Seite bringen und alle anderen x_j auf die rechte, durch x_i dividieren und braucht dann nur noch auf beiden Seiten den Betrag zu nehmen und einmal die gewöhnliche Dreiecksungleichung (für n-1 Summanden) anzuwenden, dann hat man schon eine Rohfassung der Aussage, die für deinen Beweis ausreichen dürfte. edit: Violinkonzerte? Es gibt außer dem, das ich kenne, noch eins? Wo kann ich das kriegen?
15.12.2017, 09:27	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strikt diagonaldominante Matrizen sind invertierbar Hier hat man einen Teil der Aufgabe als Lösungsansatz verkauft um zu verbergen, daß es noch keinen Lösungsansatz gibt. Aber durch Umschreiben wird vielleicht doch ein Lösungsansatz draus: $\begin{eqnarray} \delta_j= a_{j,j} - \sum \limits_{k=1,k \neq j}^n \| a_{j,k} \|, \forall 1 \leq j \leq n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \delta = min(\delta_j) \end{eqnarray}$

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