Grenzwert

11.12.2017, 20:43	vstaq	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Meine Frage: Wenn die Folge rationaler Zahlen $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ den Grenzwert a (nicht rational) hat, und $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist. Warum ist dann $\begin{eqnarray} y_n = \|\frac{p(a_n)-p(a)}{a_n-a}\| \end{eqnarray}$ beschränkt? Meine Ideen: Ich habe überlegt, dass der Nenner so wie der Zähler beide gegen 0 streben, da sie beide die Differenz der Folgen zum Grenzwert darstellen, und da sich die Folgen den Grenzwerten annähern, wird die Differenz also immer kleiner. Da es sich bei der Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ um rationale Zahlen handelt, kann man diese in einem Bruch $\begin{eqnarray} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray}$ darstellen. Ich weiß, dass der Nenner bei Annäherung an eine irrationale Zahl, die a ja ist, gegen unendlich strebt. Leider weiß ich trotz meiner Überlegungen nicht weiter, wie ich zeigen kann dass $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ beschränkt ist.
11.12.2017, 22:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Es ist $\begin{align} \frac{x^m-a^m}{x-a} = \sum_{j=0}^{m-1} x^ja^{m-1-j} \end{align}$ für alle $\begin{eqnarray} x\neq a \end{eqnarray}$ sowie alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ (genau genommen auch für $\begin{eqnarray} m=0 \end{eqnarray}$ , wenn man die "leere" Summe rechts dann wie üblich mit 0 bewertet).

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