Spline Interpolation, wo ist der Fehler?

12.12.2017, 15:39

donky

Spline Interpolation, wo ist der Fehler?

Meine Frage:
hallo, ich soll folgende Punkte kubisch interpolieren:

$\begin{eqnarray*} (0,0) , (1,-1), (2,0), (3,9) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
dazu habe ich folgende 3 Polynome aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} S_0 (x)= a_0 + b_0(x-0)+c_0(x-0)^2+ d_0(x-0)^3 \\ S_1(x)=a_1 + b_1(x-1)+c_1(x-1)^2+ d_1(x-1)^3 \\ S_2(x)= a_2 + b_2(x-2)+c_2(x-2)^2+ d_2(x-2)^3 \end{eqnarray*}$
dann deren ersten beiden Ableitungen berechnet:

$\begin{eqnarray*} S_0'(x)= b_0+2c_0 x+3d_0 x^2 \\ S_0''(x)= 2c_0+6d_0 x \\ S_1'(x)= b_1 +2c_1 x-2c_1+3d_1 x^2-6d_1 x+3d_1 \\ S_1''(x)= 2c_1 + 6d_1 x-6d_1 \\ S_2'(x)= b_2 + 2c_2 x-4c_2 + 3d_2 x^2-12d_2 x+12d_2 \\ S_2''(x)= 2c_2 +6d_2 x-12d_2 \end{eqnarray*}$

Dann folgende 12 Gleichungen aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} 0 =S_0 (0) =a_0 \\ -1= S_0 (1) = a_0 +b_0 + c_0 + d_0 \\ -1 = s_1(1) = a_1 \\ 0= s_1 (2)= a_1 + b_1 + c_1 + d_1 \\ 0 = S_2 (2) = a_2 9 = S_2 (3) = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 \\ \\ S_0'(1)= b_0+ 2c_0 + 3d_0 = b_1 = S_1'(1)\\ S_0''(1)= 2c_0 + 6d_0 = 2c_1 = S_1'' (1) \\ S_1 ' (2)= b_1 + 2_c1 - 2d_1 = b_2 = S_2'(2) \\ S_1''(2)= 2c_1 + 6d_1 = 2c_2= S_2''(2) \\ \end{eqnarray*}$
und wegen natürlichen Randbedingunen gilt:

$\begin{eqnarray*} S_0 ''(0)= 2c_0=0 \\ S_2 '' (3) = 2c_2+12d_2 =0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich alle Gleichungen nach allen 12 Variablen aufgelöst und bekomme für die meisten Variablen Brüche raus, wobei eigentlich keine Brüche rauskommen sollten unglücklich

Ich denke nicht, dass es am Auflösen der Gleichungen lag, da ich zu Korrektur alles durch einen online-Rechner gerechnet habe lassen. Also muss mein Fehler im Vorgang liegen??

Hoffe jemand findet den Fehler :-)

12.12.2017, 16:15

Steffen Bühler

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RE: Wo liegt mein Fehler? Spline Interpolation

Zitat:

Original von donky
$\begin{eqnarray*} S_1'(x)= b_1 +2c_1 x-2c_1+3d_1 x^2-6d_1 x+3d_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1 ' (2)= b_1 + 2c_1 \color{red}- 2d_1 \end{eqnarray*}$

Da ist zumindest einer.

Viele Grüße
Steffen

12.12.2017, 17:10

HAL 9000

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Anmerkung: In der Überschrift steht Spline, im Fragetext nicht mehr. Bloße kubische Interpolation führt rasch auf die Polynomfunktion $\begin{align*} f(x) = x^3-2x^2 \end{align*}$ . Die erfüllt natürlich nicht die natürlichen Randbedingungen $\begin{align*} f''(0)=f''(3)=0 \end{align*}$ der Splines. Augenzwinkern

Zu den Splines oben: Irgendwie ist es kontraproduktiv, bei den Ableitungen auszumultiplizieren. Lass doch die Struktur erhalten, ist übersichtlicher:

$\begin{align*} S_0(x) &= a_0 + b_0x + c_0x^2 + d_0x^3\\ S_1(x) &= a_1 + b_1(x-1) + c_1(x-1)^2 + d_1(x-1)^3\\ S_2(x) &= a_2 + b_2(x-2) + c_2(x-2)^2 + d_2(x-2)^3\\ S_0'(x) &= b_0 + 2c_0x + 3d_0x^2\\ S_1'(x) &= b_1 + 2c_1(x-1) + 3d_1(x-1)^2\\ S_2'(x) &= b_2 + 2c_2(x-2) + 3d_2(x-2)^2\\ S_0''(x) &= 2c_0 + 6d_0x\\ S_1''(x) &= 2c_1 + 6d_1(x-1)\\ S_2''(x) &= 2c_2 + 6d_2(x-2) \end{align*}$

Und dann dürften auch weniger Rechenfehler passieren, denn man setzt bei deinen Daten dann stets nur 0 oder 1 ein für die diversen Potenzen $\begin{align*} (x-m)^n \end{align*}$ . Augenzwinkern

12.12.2017, 17:30

mYthos

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@Admins
Ich kann den Originaltext - wegen der - nach wie vor nicht lesen.
Das ist ärgerlich.

mY+

12.12.2017, 17:37

HAL 9000

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Sorry, so geht es dann aber, oder?

12.12.2017, 17:43

mYthos

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Dein Text ist gut zu lesen! Ich meinte den Text von donky.
Es besteht ja noch immer das schon besprochen Problem und die Frage, ob die Administration dagegen etwas machen will/kann ...

mY+

12.12.2017, 21:22

donky

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@ HAL 9000
Ja du hast Recht! Sollte eher heißen "Hilfe bei Berechnung kubischer Interpolationsplines"

Danke an eure Hilfe so far!
Den Fehler habe ich berücksichtigt, bekomme aber dennoch ein falsches Ergebnis raus.. Sobald ich weiß, woran es liegt, werde ich es hier reinstellen ^^

12.12.2017, 21:33

mYthos

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Zitat:

Original von donky
...
Sollte eher heißen "Hilfe bei Berechnung kubischer Interpolationsplines"
...

Bitte KEINE Hilfeersuchen im Titel ... Edit: Unzutreffendes gestrichen.

12.12.2017, 22:19

Steffen Bühler

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RE: Spline Interpolation, wo ist der Fehler?
Hier ist der zweite:

Zitat:

Original von donky
$\begin{eqnarray*} S_2''(x)= 2c_2 +6d_2 x-12d_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2 '' (3) = 2c_2+12d_2 =0 \end{eqnarray*}$

@Mythos: es geht hier durchaus um Splines...

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