Fixpunktsatz von Edelstein und Stetigkeit

12.12.2017, 21:21	max56	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsatz von Edelstein und Stetigkeit Hallo zusammen, ich beschäftige mich mit einer Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb K \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ nichtleer und kompakt, und sei $\begin{eqnarray} f : \mathbb K \rightarrow \mathbb K \end{eqnarray}$ stetig. Zeigen Sie: Aus der Ungleichung $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| < \|x-y\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ folgt die Existenz eines eindeutig bestimmten Fixpunkts von f, d. h. eines Punktes $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_0) = x_0 \end{eqnarray}$ . Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb K \rightarrow [0, \infty), \phi(x) := \|f(x) - x\| \end{eqnarray}$ . Meine Idee: Es gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| < \|x-y\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ . Da f stetig ist, gilt zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x')\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x'\| \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ kompakt ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} x'' \in \mathbb K \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} x'' > x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb K \end{eqnarray}$ . ...Und da habe ich Probleme. Soll ich den Hinweis sofort benutzen oder dann später?
13.12.2017, 21:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ stetig und $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ kompakt ist, nimmt $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray} x_0\in \mathbb K \end{eqnarray}$ sein Minimum an: $\begin{eqnarray} \phi(x_0)=\min_{x\in\mathbb K} \phi(x) \end{eqnarray}$ . Dieses Minimum muss $\begin{eqnarray} \phi(x_0)=0 \end{eqnarray}$ sein; anderenfalls wäre $\begin{eqnarray} \phi(x_0)>0 \end{eqnarray}$ , und damit kannst du zeigen, dass dann $\begin{eqnarray} \phi(f(x_0))<\phi(x_0) \end{eqnarray}$ gelten würde, was aber im Widerspruch zur Definition von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ steht. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt ist. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nimm an, dass es einen weiteren Fixpunkt gibt und leite daraus einen Widerspruch her.

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