Nullstellen ermitteln

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miam Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen ermitteln
Guten Abend,

Aufgabe:
Geben Sie für das Polynom



vier disjunkte Intervalle an (mit Beweis), in denen jeweils genau eine Nullstelle liegt.

Frage
Wie kann man "mit einem Beweis" das zeigen? Ich habe gedacht, dass man kann 5 unterschiedliche Punkte betrachten und per Zwischenwertsatz muss es eine Nullstelle gibt wenn ein Wert negativ und der andere positiv ist.
wasweisichass Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen
Zwischenwert Satz isch schon richtig. Aber du willst ja genau eine Nullstelle. Um das zu zeigen kannst du z.b. deine Intervalle geschickt wählen und dann die Steigung in diesen Intervallen betrachtest.

Also z.B. (verwende jetzt irgendwelche Zahlen):

auf dem Intervall [1,2] ist die Steigung strickt positiv und f(1) < 0 und f(2) > 0 => genau 1 NLST

Um das mit der Steigung zu zeigen

entweder direkt mit konkreten Zahlen (wahrscheinlich keine gute Idee ^^)

ODER

du argumentierst mit Wendepunkten (WP) und Hoch- und Tiefpunkten(HP/TP), da ja offensichtlich zwischen WP und HP/TP die Steigung immer positiv/negativ ist (vorausgesetzt es liegen keine WP/HP/TP dazwischen!). Dazu musst du nur alle WP´s und HP/TP´s berechnen.
Außerdem weißt du dass wenn kein Wendepunkt nach einem TP/HP mehr kommt das Steigung immer strickt positiv/negativ bleibt, das folgt quasi aus der Def. von einem WP.


Hoffe das hilft Wink
 
 
wasweisichass Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen 2. Beweis
Dieser Beweis setzt voraus das ihr gelernt habt, dass ein Polynom x-ten Grades maximal x Nullstellen hat.

Dann wird es nämlich ziemlich einfach:

Die Intervalle so wählen, dass sie disjunkt sind oder sich nur am Rand schneiden (z.B. [1,2];[2,3];[4,5]).
Sie sollten natürlich so gewählt sein das wenn du [a,b] hast, das dann gilt p(a) < 0 , p(b) > 0 bzw. umgekehrt.

Wenn du das mit 4 Intervallen machst, weißt du das in jedem mindestens 1 Nullstelle sein muss. Da jedoch max 4 NLST existieren, hat jedes Intervall genau 1 NLST.

Der Beweis funktioniert jedoch nur, da dein spezielles Polynom gerade 4 NLST hat.
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