Abbildungsmatrizen bezüglich verschiedener Basen

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Abbildungsmatrizen bezüglich verschiedener Basen
Meine Frage:
Es sei mit und die Orthogonale Projektion auf U.

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich einer von ihnen geeignet gewählten Basis.

Meine Ideen:
Hallo erstmal. Das ist das erste mal, dass ich so richtig etwas mit Matrizen zu tun habe, weil ich das in der Schule nie hatte.
Ich bin ein bisschen verwirrt was hier gefragt ist.
Also, korrigiert mich bitte falls ich das falsch interprtiere, so wie ich das verstanden habe,
sind in U alle Vektoren die senkrecht zu n sind richtig? Da n praktischer Weise (1,1,1)^T ist, sind in U doch alle Vektoren für die gilt oder?

Die Orthogonale Projektion ist doch im endeffekt nichts anderes als eine Abbildung auf den am nächsten liegenden Vektor mit mit oder?.

Jetzt ist halt noch die Frage was ich mit diesen Informationen mache.
Intuitiv würde ich versuchen drei Vektoren geschickt zu erraten,sodass klar ist auf was diese Vektoren abbilden und dann das ganze auf eine Basis anwenden.

Macht das Sinn oder gibt es da einen Sinnvolleren Weg?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Ebene, die Projektion soll den Raum auf die Ebene abbilden. Was passiert dabei mit dem Normalenvektor und mit der Ebene ? Wie wählt man also geschickt eine Basis des ?
ForeRunner Auf diesen Beitrag antworten »

Also da würde es doch Sinn machen direkt n als einen Basisvektor zu nehmen.
Die anderen beiden habe ich mir überlegt einfach zwei der Standartbasis zu nehmen, oder zwei Vektoren die in der Ebene liegen und linear unabhängig sind.
Mein Vorschlag für B wäre also
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

n ist gut, dessen Bild ist klar. zwei linear unabhängige Vektoren in U ist auch gut, denn auch deren Bilder sind bekannt. In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen bekanntlich die Bilder der Basisvektoren.
ForeRunner Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte ich meinen Eintrag bloß nicht mehr verändert smile


Zuerst hatte ich da .


Damit erhalte ich etwas, dass zumindest richtig aussieht:

ForeRunner Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist meine Aufgabe das Gleiche für die Standartbasis zu machen.
Meine Idee war es die Bilder der Standartvektoren über die Matrix von vorhin zu bestimmen und dan ist der Rest wieder klar.
Ich verstehe nur nicht wie ich jetzt überhaupt Ergebnisse aus dieser Matrix rausbekomme die mir etwas sagen, sprich wie berücksichtige ich denn die veränderte Basis?

Wenn ich die Standartbasisvektoren einzelnd mit der Matrix multipliziere, erhalte ich folgendes:






Aber da kann ja irgendwas nicht stimmen, weil der erste Standartvektor auf jeden Fall nicht auf den Nullvektor abbildet. Übersehe ich etwas?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix bezüglich der Basis B ist genau so wie sie sein soll. Jetzt musst du einen Basiswechsel machen, und dafür gibt es eine passende Theorie: https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

Ganz so einfach, wie du es dir vorgestellt hast, ist es dann doch nicht. Es ist am Anfang ein bißchen schwierig, aber machbar, und immer wieder nützlich.
ForeRunner Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja danke! Der Gauß Jordan Algorithmus sieht gut aus, aber kann es sein, dass die Basiswechselmatrix dann einfach nur die Basisvektoren aus B als Matrix aufgeschrieben?
Weil ich soll ja zur standartbasis wechseln, also steht diese links. Das soll doch das Ziel sein das ganze so umzuformen, dass links die standartbasis steht wenn ich das richtig verstanden habe.

Also:

Basisumformmatrix :=

Das müsste ich dann doch nur noch mit der Matrix multiplizieren oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Theorie ( noch ! ) nicht studieren möchtest, gibt es bei dieser einfachen Basistransformation auch einen elementaren Rechenweg. Zum Beispiel ist , also ,also . Damit hast du den ersten Spaltenvektor der Darstellungsmatrix in der Standardbasis, die beiden anderen darfst du ausrechnen.
ForeRunner Auf diesen Beitrag antworten »

Hm warum kann man hier denn nicht den Gauß-Jordan Algorithmus anwenden?

Und woher hast du denn den vektor ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst anwenden und machen, tun und lassen was immer du willst. Wenn das richtige dabei herauskommt, ist es sogar nützlich und sinnvoll - wenn nicht dann nicht.

Den Vektor habe ich aus dem Vektorraum , um den es hier geht. Dieser Vektor hat mich darum gebeten, mitarbeiten zu dürfen, weil er das 3-fache des ersten Vektors der Standardbasis ist, und weil er sich so leicht und bequem in der Basis B darstellen lässt. Jeder Vektor lässt sich eindeutig in der Basis B darstellen, sonst wäre B keine Basis. Sobald man die Darstellung eines Vektors hat, hat man sehr schnell sein Bild unter der linearen Abbildung , weil man die Bilder der Basisvektoren aus B kennt. Also kann man ganz locker die Vektoren der Standardbasis abbilden, die Bilder sind dann die Spaltenvektoren von bezüglich der Standardbasis.
wassimbs1 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnten Sie bitte mir erklären,was haben Sie genau gemacht ? ich verstehe das leider nicht
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich meine Rechnung und die Erklärung dazu erklären soll. Was verstehst du nicht ?
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