Komplexe Zahlen Kreisteilungsgleichung

13.12.2017, 14:21	jni97	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Kreisteilungsgleichung Meine Frage: Hallo, ich habe die folgende Aufgabenstellung bekommen und bin mir nicht sicher, ob ich das alles so richig verstanden habe. Deshalb wäre es nett, wenn jemand meine Lösung kurz überfliegen könnte. Aufgabe: Berechnen Sie in den komplexen Zahlen C die drei Lösungen von $\begin{eqnarray} z^{3} = 1 \end{eqnarray}$ und stellen Sie diese in der gaußschen Zahlenebene dar. Bestimmen Sie für jede Lösung z das Paar (r, $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \geq 0 \end{eqnarray}$ × [0, 2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) mit z = rcos( $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) + ir sin( $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ). Alpha steht hier für Phi, das kann man hier leider nicht darstellen Meine Ideen: $\begin{eqnarray} z^{3} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cis(\alpha)^{3} = 1 \Rightarrow cis(3\alpha) = 1 \end{eqnarray}$ Ziel ist eine komplexe Zahl mit Realteil 1 und Imaginärteil 0, daher: $\begin{eqnarray} <br /> cos(3\alpha) = 1<br /> sin(3\alpha) = 0<br /> \end{eqnarray}$ Logischerweise ist $\begin{eqnarray} \alpha = 0° \end{eqnarray}$ die Lösung für das Gleichungssystem. 0° ist gleich 360°, daher: $\begin{eqnarray} <br /> cos(3\alpha) = cos(360°)<br /> sin(3\alpha) = sin(360°)<br /> \end{eqnarray}$ Umgeschrieben ist das: $\begin{eqnarray} <br /> 3\alpha = 360° \Rightarrow \alpha = \frac{360}{3} = 120°<br /> \end{eqnarray}$ Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, bedeutet das, dass die 3 Lösungen 0°, 120° und 240° sind: $\begin{eqnarray} <br /> z_{0} = cis(0°) = 1<br /> z_{1} = cis(120°) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i<br /> z_{2} = cis(240°) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2} * i<br /> \end{eqnarray*}$ Wenn ich das jetzt in der gauschen Zahlenebene darstelle, bekomme ich ein Dreick, woraus sich ein Kreis bilden lässt. Das sollte also soweit richtig sein. Ich verstehe jetzt nur folgendes nicht: Sind die 3 zu berechnenen Lösungen 0°, 120°, 240° und die Paare z0 = cis(0°) = 1 usw., oder muss ich noch etwas anderes ausrechnen?
13.12.2017, 14:46	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die drei Lösungen sind die von Dir gefundenen komplexen Zahlen z0, z1 und z2. Die drei "Paare" bestehen dann jeweils aus Betrag und Winkel dieser Zahlen, den Winkel aber in Radiant. Viele Grüße Steffen
13.12.2017, 14:54	jni97	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Was ist denn mit dem Betrag gemeint? Ich hätte jetzt folgende Paare bestimmt: $\begin{eqnarray} <br /> z_{0} = rcos(0) + i rsin(0)<br /> z_{1} = rcos(2,0944) + i * rsin(2,0944)<br /> z_{2} = rcos(4,18879) + i * rsin(4,18879)<br /> \end{eqnarray*}$ Edit: [latex] Oder muss ich (r, \alpha) angeben? Dann wäre \alpha einfach der Winkel in Radiant, aber was ist dann r? [\latex]
13.12.2017, 15:05	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die drei Zahlen hast Du ja schon in Deinem ersten Beitrag schön hingeschrieben, bleib einfach dabei. Und in der Tat sollst Du $\begin{align} (r, \varphi ) \end{align}$ angeben. (Phi geht mit \varphi ) Das r ist, wie gesagt, der Betrag der komplexen Zahl, hier also jeweils 1. Grafisch gesehen der Radius des Kreises, daher r. Immer wieder gern gelesen: [WS] Komplexe Zahlen
13.12.2017, 15:07	jni97	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Danke für die Hilfe und für die Verlinkung zum Thread

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