Ableitung Euklidische Norm hoch Alpha

13.12.2017, 19:18	velaron	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Euklidische Norm hoch Alpha Meine Frage: Hallo ihr Mathematiker da draußen! Die Aufgabe, die ich zu lösen versuche lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} \text{Für } n \geq 3 \text{ und } a\in \mathbb R - \left\{ 0\right\} \text{ berechne alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktion } f:\mathbb R ^{n} - \left\{ 0\right\} \Rightarrow \mathbb R , x \Rightarrow \|\|x\|\|^\alpha <br /> \end{eqnarray}$ Berechne ferner $\begin{eqnarray} \triangle f(x) := \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\delta ^2 f}{\delta x_i^2}(x) \end{eqnarray}$ Und bestimmen sie Alpha (in Abhängigkeit von v) für $\begin{eqnarray} \triangle f(x) := 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die Aufgabe bis auf zu dem "berechne ferner" Teil zumindest glaube ich gelöst. Hier mein Lösungsweg. Zunächst also die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung: Ersteinmal formuliere ich ein wenig um: $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|x\|\|^\alpha = \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^\alpha = \left(\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2\right)^\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt nach $\begin{eqnarray} \|x_i\| \end{eqnarray}$ ableiten möchte, bekomme ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} \delta_{x_i} f(x) = \alpha x_i \left(\|x_1\|^2 + ... \|x_n\|^2 \right)^{\frac{\alpha}{2}-1} = \alpha x_i * \left(\|x_1\|^2 + ... \|x_n\|^2 \right)^{\frac{\alpha - 2}{2}} = \alpha x_i * \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 2} \end{eqnarray}$ Das widerum leite ich jetzt ab nach $\begin{eqnarray} \|x_j\| \text{ mit } j \neq i \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \delta_{x_j} \delta_{x_i} f(x) = (\alpha - 2) \alpha x_i^2 \left(\|x_1\|^2 + ... \|x_n\|^2 \right)^{\frac{\alpha - 2}{2}-1} = \alpha x_i \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 4} \end{eqnarray}$ Mit dem Unterschied, dass, bei der partiellen Ableitung 2. Ordnung bei $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ folgendes rauskommt: $\begin{eqnarray} \delta_{x_i} \delta_{x_i} f(x) = (\alpha - 2) \alpha x_i x_j \left(\|x_1\|^2 + ... \|x_n\|^2 \right)^{\frac{\alpha - 2}{2}-1} + \alpha \left(\|x_1\|^2 + ... \|x_n\|^2 \right)^{\frac{\alpha - 2}{2}} \end{eqnarray}$ Umformuliert wäre das wieder: $\begin{eqnarray} \delta_{x_i} \delta_{x_i} f(x) = (\alpha - 2) \alpha x_i^2 \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 4} + \alpha \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 2} \end{eqnarray}$ Jetzt möchte ich mein $\begin{eqnarray} \triangle f(x) := \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\delta ^2 f}{\delta x_i^2}(x) \end{eqnarray}$ berechnen. $\begin{eqnarray} \triangle f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}{ (\alpha - 2) \alpha x_i^2 \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 4} + \alpha \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \triangle f(x) = n * \alpha \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 2} + n(\alpha - 2) \alpha \sqrt{\|x_1\|^2 + ... + \|x_n\|^2}^{\alpha - 4} \sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2} \end{eqnarray}$ Abgesehen von meiner allgemeinen Unsicherheit ob der Richtigkeit meines bisher geschriebenen: Wie genau soll ich denn jetzt ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ angeben, damit der ganze Bums $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray*}$ wird?
13.12.2017, 20:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau hier.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »