Untervektorraum zeigen

14.12.2017, 12:03

jni97

Untervektorraum zeigen

Meine Frage:
Hallo,
ich muss für diverse Mengen bestimmen, ob sie Untervektorräume von
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ sind.
Allerdings habe ich Probleme die Beweisführung zu verstehen.
Mal als Beispiel die Menge
$\begin{eqnarray*} U := \left\{ (x,y) \in \mathbb R^{2} : y \leq x \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Lösung sieht wie folgt aus:

1. Axiom(U ist nicht leer)
Nullvektor liegt in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (0,0) \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq 0 \end{eqnarray*}$ -> Stimmt

2. Axiom
$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen bzgl. der Addition:
$\begin{eqnarray*} (x,y), (a,b) \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>(x,y)+(a,b) \in U = (x+a,y+b) \in U \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich jetzt, dass $\begin{eqnarray*} x + a \leq y + b \end{eqnarray*}$ gilt? Oder reicht das schon als Beweis?

3. Axiom
$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} (x,y) \in U, \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>\alpha * (x,y) \in U = (\alpha * x, \alpha * y) \in U \end{eqnarray*}$

Selbe Frage wie für das zweite Axiom. Reicht das hier schon?

14.12.2017, 12:53

Helferlein

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Suche besser nach einem Gegenbeispiel, als nach einem Beweis.

14.12.2017, 12:55

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von jni97
Wie zeige ich jetzt, dass $\begin{eqnarray*} x + a \leq y + b \end{eqnarray*}$ gilt?

Nun ja, du weißt doch, daß (x,y) und (a,b) Elemente von U sind. Was muß demzufolge gelten?

Zitat:

Original von jni97
$\begin{eqnarray*} =>\alpha * (x,y) \in U = (\alpha * x, \alpha * y) \in U \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß formal da kein Gleichheitszeichen hinkommt, was muß du zeigen, damit etwas Element von U ist?

@Helferlein: habe leider mehr getippt, weil ich das mit dem Gegenbeispiel mir für später aufbewahren wollte. traurig

14.12.2017, 13:05

jni97

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RE: Untervektorraum zeigen
Naja ich hätte jetzt gesagt, dass wenn (x,y) und (a,b) Elemente von U sind, dann gilt:
y <= x und b <= a, daraus folgt: y + b <= x + a.
Richtig so?

Für die Multiplikation:
Da muss ich doch zeigen, dass das Element die Bedingungen der Menge erfüllt, oder?

@Helferlein In der Aufgabenstellung steht, dass ich Gegenbeispiele nur zeigen darf, wenn die Axiome nicht gelten.

14.12.2017, 13:12

Elvis

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von jni97
In der Aufgabenstellung steht, dass ich Gegenbeispiele nur zeigen darf, wenn die Axiome nicht gelten.

Das ist sehr lustig. Big Laugh

Du darfst alles, du darfst auch ein Gegenbeispiel angeben.
Aber: Wenn alle Aussagen gelten, dann ist ein Gegenbeispiel nicht möglich.
Aber: Wenn ein Gegenbeispiel möglich ist, dann gelten nicht alle Aussagen.

14.12.2017, 13:41

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von jni97
Für die Multiplikation:
Da muss ich doch zeigen, dass das Element die Bedingungen der Menge erfüllt, oder?

Ja. Und wie sieht es damit aus?

14.12.2017, 13:45

jni97

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RE: Untervektorraum zeigen
wenn (x, y) ein Element von U ist, dann ist y <= x.
Daraus folgt alpha * y <= alpha * x.
Also ist alpha * (x, y) Element von U.
Richtig so?

14.12.2017, 14:00

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von jni97
wenn (x, y) ein Element von U ist, dann ist y <= x.
Daraus folgt alpha * y <= alpha * x.

Da multiplizierst du also die obere Ungleichung mit alpha. Und was haben wir schon in der Schule gelernt, wann dieses unter Beibehaltung des Ungleichheitszeichens gemacht werden darf?

14.12.2017, 14:07

jni97

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RE: Untervektorraum zeigen
Wenn ich mich recht erinnere, darf man bei positiven Vorzeichen auf beide Seiten der Ungleichung eine Multiplikation einfügen.

Demnach ist y <= x <=> alpha * y <= alpha * x ?

14.12.2017, 14:19

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen
OK. Und stellt das "positive Vorzeichen" eine zulässige Einschränkung an alpha dar?

14.12.2017, 14:27

jni97

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RE: Untervektorraum zeigen
Ich würde vermuten, dass U kein Untervektorraum ist, weil wenn alpha < 0 wäre, müsste ich doch aus
y <= x ein x >= y machen, oder?
Alpha ist also auf ein positives Vorzeichen beschränkt.

14.12.2017, 15:02

klarsoweit

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RE: Untervektorraum zeigen

Zitat:

Original von jni97
Ich würde vermuten, dass U kein Untervektorraum ist.

Korrekt. Zur Bestätigung würde also ein Gegenbeispiel reichen. smile

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