Gruppenhomomorphismus

14.12.2017, 12:11	xs2071	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus Meine Frage: Überlegen Sie, ob die folgenden Abbildungen fi: Gi ? Hi Homomorphismen, Epimorphismen, Monomorphismen oder Isomorphismen zwischen den Gruppen Gi und Hi sind. i) G_1 = (Q,+), H_1 = (Q,+), f_1 : q ? q^2 ii) G_2 = (Q^x, ·), H_2 = (Q,+), f_2: q ? q ? 1 iii) G_3 = (Z × Z,+), H_3 = (Q^x, ·), f_3 : (a, b) ? 2^a3^b iv) Zeigen Sie (Z/4Z,+) und (Z/2Z × Z/2Z,+) kein Isomorphismus v) (Z,+) und (Q,+) kein Isomorphismus Meine Ideen: i) Die Funktion f : (Q, +) ? (Q, +); q ? q^2 ist kein Gruppenhomomorphismus, denn im allgemeinen ist f(q+s) = $\begin{eqnarray} (q+s)^2 = q^2 + 2qs + s^2 \neq q^2 + s^2 = f(q)+f(s) \end{eqnarray}$ iv) (Z/4Z,+) und (Z/2Z × Z/2Z,+) kein Isomorphismus, da $\begin{eqnarray} \left[ 1 \right] \end{eqnarray}$ hat dir Ordnung 4 und alle Elemente in (Z/2Z × Z/2Z,+) haben Ordnung $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2 , d.h. sie können kein. Isomorphismus haben
14.12.2017, 12:49	xs2071	Auf diesen Beitrag antworten »
i) $\begin{eqnarray} G_1 = (Q,+), H_1 = (Q,+), f_1 : q --> q^2 \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} G_2 = (Q^x, \cdot ), H_2 = (Q,+), f_2: q -->q - 1 \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} G_3 = (Z\times Z,+), H_3 = (Q^x, \cdot ), f_3 : (a, b) --> 2^a3^b \end{eqnarray}$

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