Komplement des Untervektorraums bestimmen

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Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplement des Untervektorraums bestimmen
Meine Frage:
Also ich sitze hier an meiner LinAlg Übung und komme nicht weiter, vielleicht kann mir ja jmd. helfen.

Und zwar lautet die Aufgabenstellung : Sei U= ((x1,x2,x3,x4) Element R4: 3x1-2x2+x3+2x4=0) Teilmenge von R4.
Bestimme ein Komplement des Untervektorraums.


Meine Ideen:
Mein Ansatz war es zuerst die Basis von U zu bestimmen und zu schauen mit welchen Vektoren ich diese ergänzen müsste um auf die Dimension 4 zu kommen und aus diese dannn als Basis eines anderen Vektorraums benutzen, sodass dass die Dimensionen der beiden UVRäume addiert 4 ergeben.
Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich eine Basis von U bestimme, da wir bisher noch nicht viel mit Gleichungen in UVRäumen gearbeitet haben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des Untervektorraums bestimmen
Wie sieht es denn mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme aus?
 
 
Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des Untervektorraums bestimmen
Eigentlich ist das kein Problem, aber ich bin mir nicht sicher wie ich das machen soll, wenn ich nur eine Gleichung zur Verfügung habe: verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des Untervektorraums bestimmen
Dann ist das eben ein "System", das nur aus einer Gleichung besteht. Augenzwinkern
Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplement des Untervektorraums bestimmen
Danke für die schnelle ANtwort smile
Heißt das, es ist egal welche Vektoren ich daraus bilde, solange sie eigesetzt in die Gleichung Null ergeben?

Also könnte ich mir z.B. den Vektor (0,1,0,1) als einen der Basisvektoren wählen?
Und wenn ja, wie viele brauche ich dann davon?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt auch noch 3 mal die Gleichung , das sind dann 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz wie mir das helfen soll. verwirrt
Muss ich dann eine (koeffinzienten) Matrix aufstellen?
Aber dann würde sie ja nur aus einem zeilenvektor und drei nullvektoren bestehen?!?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liw198
Heißt das, es ist egal welche Vektoren ich daraus bilde, solange sie eigesetzt in die Gleichung Null ergeben?

Ich sage mal vorsichtig: im Prinzip ja.

Zitat:
Original von Liw198
Also könnte ich mir z.B. den Vektor (0,1,0,1) als einen der Basisvektoren wählen?

Beispielsweise.

Zitat:
Original von Liw198
Und wenn ja, wie viele brauche ich dann davon?

Das verrät dir der Rangsatz. Letztlich ergibt sich das aber auch aus dem Gauß-Algorithmus. smile

Zitat:
Original von Liw198
Aber dann würde sie ja nur aus einem zeilenvektor und drei nullvektoren bestehen?!?

Und wäre das schlimm?
Liw198 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß nicht genau, welche elementaren Zeilenoperationen ich durchführen soll, bzw. ob ich das denn soll, da die Vektoren ja nicht linear abhängig sein sollen und ich ansonsten nur Nullen in der Matrix habe.
Deshalb sieht es bei bisher so wie auf dem Bild aus, aber es ist doch bestimmt falsch, dass der UVR die Dimension 1 hat, oder ?

Wo liegt der Fehler bzw. was muss ich tun, was ich vielleicht vergessen habe?

Und vielen Dank nochmal für die Tipps. Gott

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klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Liw198
Deshalb sieht es bei bisher so wie auf dem Bild aus, aber es ist doch bestimmt falsch, dass der UVR die Dimension 1 hat, oder ?

Wo liegt der Fehler bzw. was muss ich tun, was ich vielleicht vergessen habe?

Der Fehler liegt darin, daß du anscheinend noch nie ein lineares Gleichungssystem bzw. den Kern einer linearen Abbildung bestimmt hast. Anders kann ich mir deine (ziemlich große) Unkenntnis nicht erklären.

Zumindest hast du erkannt, daß der Rang = 1 ist. Nach dem Rangsatz ist somit die Dimension des Kerns = dim(V) - Rang(A) = 4 - 1 = 3

Bei guter Kenntnis des Gauß-Algorithmus sollte dieser dir sagen, daß du die Variablen x_2, x_3 und x_4 frei wählen kannst. Setze also sukzessiv eine dieser Variablen = 1, die anderen beiden gleich Null und bestimme dann x_1. Die so bestimmten Vektoren bilden eine Basis des Kerns bzw. des Unterraums U. smile
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