Restgliedabschätzung beweisen

14.12.2017, 14:36	Krischon	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgliedabschätzung beweisen Meine Frage: Moin zusammen, ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=sin(x)cos(\frac{x}{2} )+cos(x), x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zunächst habe ich das Taylor-Polynom zweiten Grades in 0 bestimmt: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x^{2}+x+1 \end{eqnarray}$ Ich möchte nun folgende Abschätzung beweisen: $\begin{eqnarray} \| f(x)-T_{2,0}(x) \| \leq \frac{35}{48} \|x^{3}\| , \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} \| sin(x)cos(\frac{x}{2})+cos(x)+ \frac{1}{2}x^2-x-1 \| \leq \frac{35}{48} \|x^{3}\| , \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Was ich mich frage: Ist es hier sinnvoll, Sinus und Cosinus als Reihen zu schreiben? Dann hätte ich wenigstens nur noch Polynome, wenn auch mit sperriger Summe davor... Bin dankbar für jede Hilfestellung! Lieben Gruß Krischon
14.12.2017, 15:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restgliedabschätzung beweisen Für die Taylor-Entwicklung gibt es doch auch Restgliedformeln. Ich denke, damit sollte man hier etwas anfangen können.
14.12.2017, 16:04	Krischon	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir hatten die Restgliedabschätzung nach Lagrange. Ich hab auch ein Beispiel gefunden, was wir für die e-Funktion hatten: $\begin{eqnarray} R_{n}(x)=exp(x)-\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} = \frac{x^{epsilon} }{(n+1)!} x^{n+1} \end{eqnarray}$ Woraus folgt: $\begin{eqnarray} \|\sum\limits_{k=n+1}^{\infty } k \| \leq \frac{e^{\|x\|} }{(n+1)!} \|x\|^{n+1} \end{eqnarray}$ Jetzt hilft mir die Reihendarstellung von Sinus und Cosinus wohl doch oder?
14.12.2017, 17:12	Krischon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm vielleicht doch viel einfacher( ? ) : Ich weiß aus der Vorlesung, dass $\begin{eqnarray} R_{n}(x)=f(x)-T_{n,a}(x) \end{eqnarray}$ Ich weiß aber auch (ebenfalls Vorlesung), dass $\begin{eqnarray} R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(epsilon)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}, a\in I, I \subseteq \mathbb R , epsilon zwischen x und a \end{eqnarray}$ Jetzt könnte ich das ja einsetzen und erhalte (nachdem ich die dritte Ableitung von f bestimmt und den Entwicklungspunkt eingesetzt hab): $\begin{eqnarray} R_{2}(x)=\frac{- \frac{9}{4} }{6} x^3 = - \frac{3}{8} x^3 \end{eqnarray}$ Naja und das eingesetzt ergibt zumindest eine wahre Aussage: $\begin{eqnarray} \| -\frac{3}{8} x^3 \| \leq \frac{35}{48} \|x\|^3 \end{eqnarray}$ Fertig?
14.12.2017, 19:38	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für mich sieht das sehr gut aus

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