Integral durch Substitution

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dumi97 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral durch Substitution
Hallo ich bin echt dumm deswegen weiß ich nicht weiter..

Ich verstehe eine sache nicht : nehmen wir an wir haben das integral x^2 die Stammfunktion ist ja pepsi einfach x^3/3 +c .

Aber wenn ich zb. das Integral mit Subs. löse ( ich weiß ist unnötig aber wollte es trotzdem) :

x^2= u

das heißt dx = 1/2x du

und wenn ich dann das Integral berechne kommt x^3/4 +c das ist ja aber nicht das gleiche wie von eben -,-
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dumi97,

also, wir wollen - ob sinnvoll oder nicht - das Integral berechnen durch die Substitution u=x^2. (Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass 0 <= a < b, also insbesondere, dass beide Grenzen nichtnegativ sind.)

Nun merkt man sich die Substitution m.E. am besten in drei Schritten:
1.) 'normale' Substitution im Integral durchführen,
2.) dx zu du machen: , also ,
3.) Grenzen anpassen.

Also:

.

Jetzt haben wir ein Problem: Wir stecken in einer Sackgasse. Der Integrand hängt sowohl von u als auch von x ab. So kommen wir nicht weiter. Also müssen wir die letzten Reste von x auch noch durch u ausdrücken.
Das tut man durch Umformung der Substitution nach x, das liefert , also

.

Den Faktor 1/2 ziehen wir nach vorne, und . Also wird

,

genau wie es sein muss.

LG
sibelius84
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