Fundamentallemma der Variationsrechnung - Du Bois Reymond

15.12.2017, 00:50

infitus

Fundamentallemma der Variationsrechnung - Du Bois Reymond

Meine Frage:
In seiner allgemeinsten Formulierung heißt er: Sei
$\begin{eqnarray*} f \in L{1}_{loc}(\Omega) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega = (a,b) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}^{} \! f\phi ' \, d\lambda = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \phi \in C^{\infty}_{c}(\Omega) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} f=const \end{eqnarray*}$ fast überall. Ich bräuchte dabei Hilfe.

Meine Ideen:
Zunächst einmal habe ich schon in dieser allgeimeinen Form das Lemma bewiesen für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^n}^{} \! f\phi \, d\lambda = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \phi \in C^{\infty}_{c}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ daraus folgt, dass f=0 fast überall. Ich habe indes versucht den Fall den ich beweisen möchte darauf zurückzuführen, zunächst durch partielle Integration. Es treten dabei eine Reihe von Problemen auf: Zunächst einmal ist f nicht differenzierbar. Ich habe das verucht zu fixen, indem ich f mit dem Standard Glättungskern falte und dadurch Partielle Integration anwenden kann. Aber hierbei geht mir meiner Meinung nach die Voraussetzung mit dem Integral =0 flöten. Außerdem im weiteren bräuchte ich dafür, dass $\begin{eqnarray*} f*\eta_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wenigstens punktweise gegen f konvergiert, aber ich weiß nur, dass es in Lp Norm konvergert, was das andere nicht impliziert etc. also habe ich es verworfen. Aber bis jetzt habe ich keine andere Idee wie man es sonst angehen könnte. Also liebe Community, wisst ihr wie ich weitermachen könnte?

15.12.2017, 11:48

IfindU

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RE: Fundamentallemma der Variationsrechnung - Du Bois Reymond
Sehr gute Idee.

Zitat:

Original von infitus
Es treten dabei eine Reihe von Problemen auf: Zunächst einmal ist f nicht differenzierbar. Ich habe das verucht zu fixen, indem ich f mit dem Standard Glättungskern falte und dadurch Partielle Integration anwenden kann. Aber hierbei geht mir meiner Meinung nach die Voraussetzung mit dem Integral =0 flöten.

Wenn du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch eine beliebige Folge von glatten Folgen approxierst: natürlich. Keine Chance, dass die Bedingung nicht "flöten" geht. Die Konstruktion über die Faltung ist aber eine superschöne Approximation. Du kannst leicht nachrechnen, dass diese das erfüllt (siehe Satz von Fubini).

Zitat:

Außerdem im weiteren bräuchte ich dafür, dass $\begin{eqnarray*} f*\eta_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wenigstens punktweise gegen f konvergiert, aber ich weiß nur, dass es in Lp Norm konvergert, was das andere nicht impliziert etc. also habe ich es verworfen.

Erst mal konvergiert es nur in $\begin{eqnarray*} L^p_{loc} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ .
Und beliebige Approximationen konvergieren nicht punktweis. Die obige Faltung konvergiert aber für alle Lebesguepunkte, insbesondere fast überall.
Hier braucht man es nicht allgemein, aber: Aus lokaler Konvergenz im Maß folgt, dass es Teilfolge existiert, die punktweise fast überall konvergiert.
Im Notfall approximierst du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} \eta_{\epsilon} * f \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \eta_{\epsilon_k} * f \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \epsilon_k \end{eqnarray*}$ eine Folge ist, so dass eben $\begin{eqnarray*} \eta_{\epsilon_k} * f \to f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ fast überall.

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