Wegintegrale

15.12.2017, 01:00	YoXo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegrale Meine Frage: Hallo, wir haben vor kurzem Wegintegrale in unserem Studium behandelt, und ich habe sie nur sehr schlecht verstanden. nun wurde ich in einer Vorklausur mit aufgaben gelöchert die ich nicht wirklich lösen konnte. Diese Klausur habe ich mir nun auf dem einem oder dem anderen Weg besorgt und versucht nocheinmal hinter die Ausarbeitung eines wegintegrals zu kommen. Nach stunden von Mathe youtube videos, und irgentwelchen seiten im netz habe ich das grundsätzlich vermutlich einfache prinzip immer noch nicht verstanden. Ich hätte gerne die Speziellen Aufgaben gelöst, damit ich das auf weitere anwenden kann. bei einer kann ich noch vermuten wie es geht die anderen beiden machen keinen Sinn mehr für mich. Am hilfreichsten wäre eine gerechnete Beispiielaufgabe nach dem Schema das unser Tutor will. Meine Ideen: Ich habe die krümmungsfunktionv Int(xydx) ; ich habe den weg über die Funktion y=x^3 von (-2/-8)bis (2/8) darf ich nun frecher weise y durch x^3 im oberen Term ersetzen und bekomme dadurch Int(x^4dx). also muss ich 1/5 x^5 von 2 bis -2 integrieren? also 32/5? Vieleicht kann mir jemand anhand dieses einfachen Beispieles meinen fehler erklären.
15.12.2017, 07:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Auffällig ist, daß in deinem Integral der $\begin{align} \dd y \end{align}$ -Teil fehlt. Nicht daß es das nicht gäbe. Aber es ist nicht typisch, so daß der Verdacht aufkommt, daß du das nicht korrekt abgeschrieben hast. Vielleicht soll es auch gar nicht $\begin{align} \dd x \end{align}$ , sondern $\begin{align} \dd s \end{align}$ heißen? Oder gar $\begin{align} \dd \vec{x} \end{align}$ mit Vektorpfeil (dazu würde aber dann der Integrand nicht passen)? Handelt es sich also um ein Kurvenintegral 1. Art oder 2. Art? Bei diesen unklaren Verhältnissen ist die Bereitschaft der Helfer, Rat zu geben, eingeschränkt. Denn nicht zum ersten Mal passiert es, daß der Fragesteller, nachdem bereits viel geholfen wurde, vielleicht nach mehreren Tagen damit kommt: "Ach ja. Die Aufgabe stimmt nicht. Ich habe da dies oder jenes vergessen." Das ist dann ziemlich frustrierend. Vielleicht wäre es sinnvoll, das Aufgabenblatt einzuscannen und hier in den Anhang zu stellen. Dann sollte man mit einer einfachen, aber typischen Aufgabe beginnen, bis du das Prinzip verstanden hast. Es gibt sehr viele Mitglieder hier, die sich in diesem Bereich zwischen Mathematik und Physik auskennen. Dann kann dir auch geholfen werden.
15.12.2017, 07:36	YoXo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegrale Hallo, hier bekommt ihr die "gescannte" Aufgabe. (Ich hatte sie oben so verändert dass ich immerhin den fehler den ich gemacht hatte erkennen könnte. Jedoch,werde ich den link relativ schnell wieder herausnehmen, denn es handelt sich ja um eine klausuraufgabe, ich bezweifele das der Prof sich freut wenn er sie sehen solte. Leider bin ich nicht autorisiert einen Link zu schicken. https://www.dropbox.com/s/uy1l2ihdqvdcyaq/Aufgabe.png?dl=0 Link eingefügt. Steffen
15.12.2017, 07:41	YoXo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegrale Ich möchte nur ein Kochrezept zum lösen der aufgabe.
15.12.2017, 08:52	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegrale Dei Link auf die Dropbox ist nicht zu gebrauchen. Aber egal! Wegintegrale über Vertorfelder sind finite Summen über Skalarprodukte. Angenommen wie haben einen geraden Weg in der xy-Ebene von Punkt $\begin{eqnarray} A=(-2,-8) \end{eqnarray}$ bis Punkt $\begin{eqnarray} B=(2,8) \end{eqnarray}$ . Nun wollen wir das Wegintegral über das Vektorfeld $\begin{eqnarray} (xy, x^3) \end{eqnarray}$ entlang dieses Weges von A nach B wissen. Dann ist das Wegintegral $\begin{eqnarray} I\int_{A}^{B} \! \vec{f} (\vec{s} ) \, d\vec{s} = \int_{A}^{B} \! \begin{pmatrix} xy & x^3 \end{pmatrix} d\vec{s}= \int_{-1}^{1} \! \begin{pmatrix} x(t)y(t) & x(t)^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix}dt \end{eqnarray}$ . Dabei muß $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ so gewählt werden, daß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x = -2 \\ y = -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t=-1 \end{eqnarray}$ ist, und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x = 2 \\ y = 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x(t)=2t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \dot x(t)=\frac{dx}{dt}=2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y(t)=8t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \dot y(t)=\frac{dy}{dt}=8 \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \int_{A}^{B} \! \vec{f} (\vec{s} ) \, d\vec{s} = \int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 2t \cdot 8t& (2t)^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}dt \end{eqnarray}$ Nun bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig erfaßt habe. Aber zumindest habe ich das Lösungsprinzip gezeigt.
15.12.2017, 09:32	YoXo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegrale Hallo Ulrich... ich könnte leider anhand deiner Aufgabe nur ein typisches Beispiel erkennen wie man's üblicherweise rechnet. Aber das auf meine Aufgabe angewendet macht für mich irgendwie keinen Sinn. (Linke oben korregiert)
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15.12.2017, 10:14	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, es ist definitionsgemäß $\begin{eqnarray} I=\int_C xy \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_a^b x(t)y(t) \,\left\lVert\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}\right\rVert dt \end{eqnarray}$ , wenn [a,b] der Definitionsbereich der Kurve C ist. Also musst du die Kurve $\begin{eqnarray} C(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1.) parametrisieren (d.h. definieren entsprechend der Angabe auf dem Aufgabenblatt), 2.) diese Parametrisierung ableiten, 3.) von dieser Ableitung die Norm berechnen, für kompliziertere Integranden f evtl. noch einen separaten Schritt 4.) f(C(t)) berechnen (kann man hier aber denke ich unmittelbar hinschreiben, weil der Integrand so einfach ist), 5.) alles zusammen ins obere Integral einsetzen, 6.) integrieren! LG sibelius84

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