Grenzwert Folgen

15.12.2017, 02:21	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Folgen Meine Frage: Hallo,hätte da eine Frage zur ersten Teilaufgabe.Ich muss diesen Grenzwert berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x(x+(1/n))^{1/n} \end{eqnarray}$ .Hab auch noch den e^ln Trick benutzt + l^hopital. Meine Ideen:* Wenn x nicht null ist,ist alles ok,dann bekomme ich als Grenzwert x.Aber null kann ich irgendwie nicht einsetzen,weil ln(0) nicht definiert ist m.Soll ich dann noch den lim x -> 0 hinzufügen.
15.12.2017, 03:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Folgen es steht aber $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x(x+(1/n))^{-n} \end{eqnarray*}$ ist das so gewollt?
15.12.2017, 03:59	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
omg.Ich habe das tatsächlich verwechselt und habe die ganze Zeit mit meiner Folge gerechnet.Kein Wunder,dass da nur Schrott rauskommt.Ist 4 Uhr halt.
15.12.2017, 05:15	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{x}{(x+\frac{1}{n})^{n} }= 0,x=0; 1/e,x=1; 0,x>1; ->\infty ,1>x>0 \end{eqnarray}$ Das habe ich zur ersten Teilaufgabe.Bei der zweiten Teilaufgabe habe ich dann $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \lVert \mathbf{\frac{x}{(x+\frac{1}{n})^{n} }} \rVert \end{eqnarray}$ genommen.Hab dann erstmal auch die extremas berechnet,wobei x=-1/(n-n^2) einer ist.Hab das auch schon überprüft und stimmt soweit.Hab das ganze dann in die Funktion eingesetzt und halt damit nach oben abgeschätzt.Wenn man allerdings dann denn Limes davon zieht,geht der gegen unendlich,was aber im Widerspruch zur Aufgabenstellung steht. Jemand eine Idee,was ich falsch gemacht habe?
15.12.2017, 10:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo dmpartyrock, es ist gut, wenn einem in dem Kontext einfällt, dass man die Extrema berechnen könnte. Falls man ein globales Maximum findet, hat man ja eine Antwort auf die Frage "Wie groß kann der Ausdruck schlimmstenfalls werden?". Das wird sogar in wichtigen Beweisen teils so gemacht, z.B. Young'sche Ungleichung. Hier brauchst du es aber nicht: Es reicht einfach die für x>0 gültige Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac x {(x+\frac 1 n)^n} \leq \frac x {x^n} \end{eqnarray}$ . Wärst du um 1 im Bett gewesen und hättest dich um 10 nach einem kräftigen Frühstück und einem kleinen Spaziergang an der frischen Luft ausgeruht wieder drangesetzt, hättest du's vielleicht sofort gesehen? LG sibelius84
16.12.2017, 00:16	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal fuer die Antwort.Das einzige Problem was ich jetzt dabei habe,ist ein rein formelles.Kann ich denn,den lim n -> unendlich sup \| fn(x) - f(x) \| damit abschätzen.Ohne das sup würde das ja gehen,aber mit dem sup verstehe ich dann nicht ob das geht.Darf mit dem sup allgemein so abschätzen?
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16.12.2017, 18:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N: \lvert f_n(x)-f(x) \vert \leq M \end{eqnarray}$ folgt insbesondere auch $\begin{eqnarray} \sup_{n \in \mathbb N}\, \lvert f_n(x)-f(x) \vert \leq M \end{eqnarray}$ . (Die Relationen $\begin{eqnarray} \leq \text { und }\geq \end{eqnarray}$ bleiben bei Supremums- und Infimumsbildung erhalten.) Das Supremum kannst du konkret ermitteln und hast dann in dem Moment, wo du n gegen Unendlich schickst, den "sup"-Operator schon gar nicht mehr da stehen.
17.12.2017, 21:41	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Dankeschön hab’s jetzt hinbekommen.Hat mir auch bei anderen Teilaufgaben geholfen.

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