Eindeutigkeit Lösung RWP

15.12.2017, 13:40

3,1415

Eindeutigkeit Lösung RWP

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem mit dem, Satz, der die Eindeutigkeit der Lösung eins RWP betrifft. (Determinante soll ungleich 0 sein)

Gegeben ist eine homogene DGL 2. Ordnung und ich habe als Lösung
$\begin{eqnarray*} y(x)=c_1*x+c_2*ln(x)*x \end{eqnarray*}$
meine RW sollen sein:
$\begin{eqnarray*} y'(1)=1 , y(A)=b \end{eqnarray*}$

Ist nun die besagte Determinante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha & \alpha *ln(1)*1 \\ \beta*A &\beta *ln(A)*A \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Gruß

15.12.2017, 20:06

sibelius84

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Hi,

der Hintergrund ist hier der folgende:

Hast du ein Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y''=f(x,y,y'), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_0' \end{eqnarray*}$ gegeben, so hast du unter gewissen, relativ moderaten Anforderungen an die Funktion f auf der rechten Seite garantiert eine eindeutige Lösung zumindest auf einem kleinen Intervall um x_0.

Hast du aber ein Randwertproblem $\begin{eqnarray*} y''=f(x,y,y'), y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1 \end{eqnarray*}$ vorliegen, so sieht die Lage manchmal schon anders aus. Betrachte etwa die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x^2y''-5xy'+8y=0 \end{eqnarray*}$ . Sie hat als Fundamentallösungen gerade $\begin{eqnarray*} y_1(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ , mithin die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} y_a(x) = c_1x^2+c_2x^4,\quad c_1,c_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt vorgibst, dass $\begin{eqnarray*} y(-1)=-1, y(1)=-1 \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann bekommst du das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=-1 \end{eqnarray*}$ ,

das unendlich viele Lösungen hat. Wenn du aber vorgibst, dass $\begin{eqnarray*} y(-1)=-1, y(1)=2 \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann bekommst du das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=2 \end{eqnarray*}$ ,

das keine Lösung hat.

Du musst also im Prinzip einfach nur deine Randwerte einsetzen und schauen, ob du vernünftig nach c_1, c_2 (bzw. alpha, beta) auflösen kannst. Falls ja, dann ist die Determinante ungleich Null. Falls Nein, dann ist sie gleich Null.

LG
sibelius84

16.12.2017, 08:59

3,1415

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Guten Morgen sibelius84,

vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Freude

Ich wusste einfach nicht was genau in die Determinante reingehört. Die war ja definiert als

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} R_1u_1 & R_1u_2 \\ R_2u_1 & R_2u_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ wohl Integralbasen der Lösung sind.
Jetzt habe ich folgende 2 Randbedingungen:

$\begin{eqnarray*} y(A)=c_1*A+c_2*ln(A)*A \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} y'(1)=c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

also müsste die Determinante sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} c_1 & c_1A+c_2ln(A)A \\ c_1+c_2 & c_1+c_2(1+ln(A)) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? verwirrt

Liebe Grüße

16.12.2017, 18:13

sibelius84

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Zitat:

Original von 3,1415
Jetzt habe ich folgende 2 Randbedingungen:

$\begin{eqnarray*} y(A)=c_1*A+c_2*ln(A)*A \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} y'(1)=c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

also müsste die Determinante sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} c_1 & c_1A+c_2ln(A)A \\ c_1+c_2 & c_1+c_2(1+ln(A)) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? verwirrt

Liebe Grüße

Nein, leider nicht. Dein Gleichungssystem ist ja eines in den Variablen c_1, c_2. Also Bc = y, wobei

$\begin{eqnarray*} B=\begin{vmatrix} A & ln(A)A \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Du musst genau auseinanderhalten, was die Variablen sind. Die kommen in die Gleichungsmatrix nie mit rein.

18.12.2017, 11:16

3,1415

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Achso
jetzt hab ichs Hammer

Vielen Dank für Deine Antworten! Freude

lieben Gruß

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