Volumen von Kugel und Polyedern

15.12.2017, 23:06

mathrac

Volumen von Kugel und Polyedern

Meine Frage:
Hallo ihr lieben,

im Moment haben wir das Thema "p-dimensionale Volumina" und ich habe absolut keine Ahnung wie man solche Integrale lösen kann, bzw. Volumina bestimmen kann. Als Bsp. wurden P und K genannt, s. Anhang. Leider wurde nicht richtig erklärt wie diese zu bestimmen sind.

Meine Ideen:
Kann mir das zum einen jemand verständlich noch an einen dieser Bsp. erklären? Dafür wäre ich echt dankbar!

16.12.2017, 09:32

Leopold

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Beginnen wir mit dem Polyeder. Für $\begin{align*} c>0 \end{align*}$ ist die Ungleichung

$\begin{align*} |x_1| + |x_2| + \ldots + |x_p| \leq c \end{align*}$

genau dann lösbar, wenn $\begin{align*} |x_p| \leq c \end{align*}$ ist. Nach Fubini integriert man also über alle $\begin{align*} x_p \end{align*}$ mit $\begin{align*} -c \leq x_p \leq c \end{align*}$ und in Abhängigkeit von $\begin{align*} x_p \end{align*}$ über alle $\begin{align*} x_1, x_2, \ldots, x_{p-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x_1| + |x_2| + \ldots + |x_{p-1}| \leq c - |x_p| \end{align*}$ . Die letzte Ungleichung beschreibt aber die Menge $\begin{align*} P_{p-1}(c-|x_p|) \end{align*}$ . Für $\begin{align*} p \geq 2 \end{align*}$ gilt damit:

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \int \limits_{P_p(c)} \dd (x_1, \ldots, x_p) = \int \limits_{-c}^c \ \int \limits_{P_{p-1}(c-|x_p|)} ~ \dd (x_1, \ldots, x_{p-1}) ~ \dd x_p \end{align*}$

Damit kann man iterativ die Volumina bestimmen. Bezeichnen wir also das $\begin{align*} p \end{align*}$ -dimensionale Volumen von $\begin{align*} P_p(c) \end{align*}$ mit $\begin{align*} u_p(c) \end{align*}$ und beginnen wir mit $\begin{align*} p=1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} u_1(c) = \int \limits_{P_1(c)} \dd x_1 = \int \limits_{-c}^c ~ \dd x_1 = 2c \end{align*}$

Für $\begin{align*} p=2 \end{align*}$ können wir $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ anwenden:

$\begin{align*} u_2(c) = \int \limits_{-c}^c \ \int \limits_{P_1(c-|x_2|)} \dd x_1 ~ \dd x_2 = \int \limits_{-c}^c u_1(c-|x_2|) ~ \dd x_2 = \int \limits_{-c}^c 2 \left( c - |x_2| \right) ~ \dd x_2 = 4 \int \limits_0^c (c-x_2) ~ \dd x_2 = 2c^2 \end{align*}$

Jetzt probiere selber einmal den Schritt von $\begin{align*} p=2 \end{align*}$ auf $\begin{align*} p=3 \end{align*}$ und versuche, das allgemeine Prinzip zu erkennen.

16.12.2017, 10:56

mathrac

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Vielen Dank für den Tipp!

Für

u3(c) habe ich dann 2c^4 und für u4(c) = 2c^6

also kann ich dann auf das Gesamtvolumen schließen. Dieses ist dann 2*c^(2k).

Stimmt das dann so?

16.12.2017, 11:28

mathrac

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Und kann ich das dann für die Kugel so machen? (s. Anhang) :

16.12.2017, 11:54

Leopold

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Zitat:

Original von mathrac
Für

u3(c) habe ich dann 2c^4 und für u4(c) = 2c^6

Das kann schon aus Dimensionsgründen nicht sein. Stell dir vor, $\begin{align*} c \end{align*}$ würde in $\begin{align*} \text{m} \end{align*}$ gemessen. Dann bekämst du für das dreidimensionale Volumen die Einheit $\begin{align*} \text{m}^4 \end{align*}$ und für das vierdimensionale die Einheit $\begin{align*} \text{m}^6 \end{align*}$ . Das ist denkunmöglich.

Richtig ist

$\begin{align*} u_3(c) = \frac{4}{3} c^3 \, , \ \ u_4(c) = \frac{2}{3} c^4 \end{align*}$

Hier die Rechnung für $\begin{align*} p=3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} u_3(c) = \int_{-c}^c u_2(c-|x_3|)~ \dd x_3 = \int_{-c}^c 2 \left( c - |x_3| \right)^2 ~ \dd x_3 = 4 \int_0^c \left( c-x_3 \right)^2 ~ \dd x_3 = 4 \cdot \left. \left( - \frac{1}{3} ( c - x_3) \right)^3 \right|_{\, 0}^{\, c} = \frac{4}{3} c^3 \end{align*}$

Beim Rechnen ist es übrigens günstiger, die Vorfaktoren unausgerechnet zu lassen, dann sieht man besser, was passiert.

EDIT
Faktor korrigiert.

16.12.2017, 12:19

mathrac

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Aber bei der u4(c) kommt doch 2/3*c^4 heraus?

16.12.2017, 12:30

Leopold

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Richtig. Bei mir stand es falsch, ich habe es soeben korrigiert.

16.12.2017, 12:37

mathrac

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Okay, danke. Ich habe mir für u5 ausgerechnet, aber das sprengt irgendwie den rahmen. Für die ersten 4 habe ich eine gute Struktur gefunden. Aber mit u5 finde ich nichts mehr.

16.12.2017, 12:40

Leopold

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Wie gesagt: Vorfaktoren nicht berechnen!

$\begin{align*} u_1(c) = 2c \end{align*}$

$\begin{align*} u_2(c) = \frac{2 \cdot 2}{2} c^2 \end{align*}$

$\begin{align*} u_3(c) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} c^3 \end{align*}$

$\begin{align*} u_4(c) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 4} c^4 \end{align*}$

Paßt das auch für dein $\begin{align*} u_5(c) \end{align*}$ ?

16.12.2017, 12:43

mathrac

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Das war denke ich mein Problem.

Ja exakt, das passt genau für u_5!

Vielen Danke. Ich habe mir überlegt so dann auch mit der Kugel vorzugehen.

16.12.2017, 12:50

Leopold

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Du solltest die Terme in Zähler und Nenner des Bruches noch mit Hilfe bekannter mathematischer Symbole schreiben und allgemein $\begin{align*} u_n(c) \end{align*}$ angeben. Dann kannst du einen sauberen Induktionsbeweis für die erratene Formel führen. Im Induktionsschritt hilft dir $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ aus meinem ersten Beitrag.

16.12.2017, 13:01

mathrac

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Ja, eine allgemeine Form habe ich jetzt gefunden. Und den Induktionsbeweis mache ich gleich auch noch. Vielen Dank für deine Hilfe!

05.07.2018, 16:42

xxxM

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Hallo, ich habe eine Frage, die vermutlich direkt zu diesem Thread hier passt.

$\begin{eqnarray*} K = \left\{\vec{x} \in \mathbb R^3 : |x|+1/2|y|+1/3|z|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

Ich soll das Volumen von K berechnen und weiß nicht genau wie ich das hier geschrieben anwenden kann. Was passiert mit den Vorfaktoren 1/2 und 1/3? ist das überhaupt der richtige Ansatz? Ich studiere Maschinenbau, nicht Mathematik.

05.07.2018, 16:58

xxxM

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Danke, da ich so schlau war und unregistriert die Antwort verfasst habe, konnte ich Sie nachher auch nicht mehr bearbeiten.

Würde mich jedenfalls arg freuen, wenn sich jemand die Mühe macht, mich auf den richtigen weg zu geleiten Augenzwinkern

05.07.2018, 17:38

Leopold

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Kennst du die Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale?

$\begin{align*} |x| + \frac{1}{2} |y| + \frac{1}{3} |z| \leq 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |x| + \left| \frac{1}{2} y \right| + \left| \frac{1}{3} z \right| \leq 1 \end{align*}$

Mit der Substitution

$\begin{align*} x = u \, , \ \ y = 2v \, , \ \ z = 3w \end{align*}$

wird hieraus:

$\begin{align*} |u| + |v| + |w| \leq 1 \end{align*}$

Die Substitution oben führt also dein Problem auf das Problem aus der Eingangsfrage zurück.

05.07.2018, 17:57

HAL 9000

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@xxxM

Hier in Dimension 3 tut es zur Not auch noch die Pyramidenvolumenformel: Dein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ besteht aus 8 kongruenten dreiseitigen Pyramiden (Tetraeder) einfachster Bauart, pro Oktant eine, die im Ursprung zusammentreffen.

05.07.2018, 18:08

xxxM

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Zitat:

Original von Leopold
Kennst du die Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale?

$\begin{align*} |x| + \frac{1}{2} |y| + \frac{1}{3} |z| \leq 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |x| + \left| \frac{1}{2} y \right| + \left| \frac{1}{3} z \right| \leq 1 \end{align*}$

Mit der Substitution

$\begin{align*} x = u \, , \ \ y = 2v \, , \ \ z = 3w \end{align*}$

wird hieraus:

$\begin{align*} |u| + |v| + |w| \leq 1 \end{align*}$

Die Substitution oben führt also dein Problem auf das Problem aus der Eingangsfrage zurück.

Danke für die schnelle Antwort. Also scheine ich ja schonmal im richtigen Thread gelandet zu sein. Ich fasse das jetzt so auf, dass für meinen Fall also

$\begin{eqnarray*} c = 1, p = 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Frage dazu ist, muss ich nun lediglich die Formel für p=3 anwenden?

Zitat:

Original von Leopold

Hier die Rechnung für $\begin{align*} p=3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} u_3(c) = \int_{-c}^c u_2(c-|x_3|)~ \dd x_3 = \int_{-c}^c 2 \left( c - |x_3| \right)^2 ~ \dd x_3 = 4 \int_0^c \left( c-x_3 \right)^2 ~ \dd x_3 = 4 \cdot \left. \left( - \frac{1}{3} ( c - x_3) \right)^3 \right|_{\, 0}^{\, c} = \frac{4}{3} c^3 \end{align*}$

Beim Rechnen ist es übrigens günstiger, die Vorfaktoren unausgerechnet zu lassen, dann sieht man besser, was passiert.

EDIT
Faktor korrigiert.

oder ist das nur ein Teil des Volumens? Ich stehe etwas auf dem Schlauch.

Meine zusätzliche Frage dazu:

wieso wird aus $\begin{align*} u_3(c) = \int_{-c}^c u_2(c-|x_3|)~ \dd x_3 = \int_{-c}^c 2 \left( c - |x_3| \right)^2 ~ \dd x_3 \end{align*}$ ?

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Für was genau steht jetzt $\begin{align*} u_2 \end{align*}$ ? Woher kommt der Exponent hinter der Klammer?

Vielen vielen Dank nochmal.

05.07.2018, 18:14

xxxM

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Zitat:

Original von HAL 9000
@xxxM

Hier in Dimension 3 tut es zur Not auch noch die Pyramidenvolumenformel: Dein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ besteht aus 8 kongruenten dreiseitigen Pyramiden (Tetraeder) einfachster Bauart, pro Oktant eine, die im Ursprung zusammentreffen.

Hallo und danke für die Antwort,

wir sind nur momentan bei der Mehrdimensionalen Analysis, weshalb ich vermute, dass es integrativ gelöst werden soll. Würdest du mir erklären, wie man sowas schnell erkennt? Und wie ich nun mit dem Wissen logisch auf das tatsächliche Volumen rechnerisch schließen kann? Also wie zeige ich das, was du geschrieben hast, wie lang die Kanten sind, dass sie im Mittelpunkt zusammentreffen?

NOCHMAL DANKE!

05.07.2018, 18:27

xxxM

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Zitat:

Original von xxxM

Meine zusätzliche Frage dazu:

wieso wird aus $\begin{align*} u_3(c) = \int_{-c}^c u_2(c-|x_3|)~ \dd x_3 = \int_{-c}^c 2 \left( c - |x_3| \right)^2 ~ \dd x_3 \end{align*}$ ?

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Für was genau steht jetzt $\begin{align*} u_2 \end{align*}$ ? Woher kommt der Exponent hinter der Klammer?

Vielen vielen Dank nochmal.

Ok diesen Teil habe ich verstanden. Habe etwas ungenau hingesehen. Hammer

Einen kleinen Anstoß bräuchte ich dennoch.

05.07.2018, 18:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von xxxM
Würdest du mir erklären, wie man sowas schnell erkennt?

Ich bin Mathematiker, kein begnadeter Didaktiker.

Zitat:

Original von xxxM
Und wie ich nun mit dem Wissen logisch auf das tatsächliche Volumen rechnerisch schließen kann?

Konzentriert man sich auf den ersten Oktanten, dann wird der Anteil von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , der dort liegt, durch $\begin{eqnarray*} x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0,x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}z\leq 1 \end{eqnarray*}$ beschrieben. Das ist letztlich ein Tetraeder mit den Eckpunkten (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) und (0,0,3), welches das Volumen $\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1 \end{eqnarray*}$ hat - das ist deswegen so einfach, weil da drei jeweils rechtwinklig zueinander liegende Tetraederkanten der Längen 1, 2 und 3 im Ursprung zusammentreffen.

05.07.2018, 19:13

xxxM

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von xxxM
Würdest du mir erklären, wie man sowas schnell erkennt?

Ich bin Mathematiker, kein begnadeter Didaktiker.

Zitat:

Original von xxxM
Und wie ich nun mit dem Wissen logisch auf das tatsächliche Volumen rechnerisch schließen kann?

Mmmh, ich habe versucht die Formeln anzuwenden und bin dabei auf $\begin{eqnarray*} u1(c)=2*c, u2(c)=3/8*c^2, u3(c)=19/108*c^3 \end{eqnarray*}$ .

Zurücksubstituiert habe ich immer nachdem das Integral aufgelöst wurde, aber die Grenzen noch nicht eingesetzt und ausgrechnet wurden.

Das kann dann laut dem von dir angebenen Volumen 1 nicht ansatzweise stimmen verwirrt

05.07.2018, 19:54

xxxM

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Zitat:

Original von xxxM

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von xxxM
Würdest du mir erklären, wie man sowas schnell erkennt?

Ich bin Mathematiker, kein begnadeter Didaktiker.

Zitat:

Original von xxxM
Und wie ich nun mit dem Wissen logisch auf das tatsächliche Volumen rechnerisch schließen kann?

Ich korrigiere:

$\begin{eqnarray*} u1(c)=2*c, u2(c)=3*c^2, u3(c)=38/27*c^3 \end{eqnarray*}$ .

Ich vermute ich mache das mit der Substitution falsch.

05.07.2018, 20:45

xxxM

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Also letztendlich habe ich mich mehrmals verrechnet und nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} u1(c) = 2c, u2(c) = 3/2c^2, u3(c) = 19/27c^3 \end{eqnarray*}$

kann mir jemand sagen, wie ich diese ergebnisse interpretieren muss, und was daran falsch sein könnte?

05.07.2018, 21:05

Leopold

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Die von mir vorgeschlagene Substitution hat 6 als Betrag der Funktionaldeterminanten. Besteht $\begin{align*} K^{*} \end{align*}$ aus allen $\begin{align*} (u,v,w) \end{align*}$ mit $\begin{align*} |u|+|v|+|w| \leq 1 \end{align*}$ , so gilt also

$\begin{align*} V(K) = \int_K \dd(x,y,z) = 6 \int_{K^{*}} \dd(u,v,w) = 6 \cdot u_3(1) \end{align*}$

Und die $\begin{align*} u_p(c) \end{align*}$ stehen hier:

Zitat:

Original von Leopold
Wie gesagt: Vorfaktoren nicht berechnen!

$\begin{align*} u_1(c) = 2c \end{align*}$

$\begin{align*} u_2(c) = \frac{2 \cdot 2}{2} c^2 \end{align*}$

$\begin{align*} u_3(c) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} c^3 \end{align*}$

$\begin{align*} u_4(c) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 4} c^4 \end{align*}$

Paßt das auch für dein $\begin{align*} u_5(c) \end{align*}$ ?

Und wenn du HALs Ergebnisse zusammenfügst, bekommst du dasselbe:

Zitat:

Original von HAL 9000
Konzentriert man sich auf den ersten Oktanten, dann wird der Anteil von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , der dort liegt, durch $\begin{eqnarray*} x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0,x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}z\leq 1 \end{eqnarray*}$ beschrieben. Das ist letztlich ein Tetraeder mit den Eckpunkten (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) und (0,0,3), welches das Volumen $\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1 \end{eqnarray*}$ hat - das ist deswegen so einfach, weil da drei jeweils rechtwinklig zueinander liegende Tetraederkanten der Längen 1, 2 und 3 im Ursprung zusammentreffen.

Zitat:

05.07.2018, 21:55

xxxM

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Zitat:

Original von Leopold
Die von mir vorgeschlagene Substitution hat 6 als Betrag der Funktionaldeterminanten. Besteht $\begin{align*} K^{*} \end{align*}$ aus allen $\begin{align*} (u,v,w) \end{align*}$ mit $\begin{align*} |u|+|v|+|w| \leq 1 \end{align*}$ , so gilt also

$\begin{align*} V(K) = \int_K \dd(x,y,z) = 6 \int_{K^{*}} \dd(u,v,w) = 6 \cdot u_3(1) \end{align*}$

Und die $\begin{align*} u_p(c) \end{align*}$ stehen hier:

Zitat:

Und wenn du HALs Ergebnisse zusammenfügst, bekommst du dasselbe:

Zitat:

Danke, ich merke, ich habe noch einiges nachzuholen. Ich habe die Figur jetzt erstmal gezeichnet, um HALs (eigentlich doch recht einfachen & verständlichen :hammer smile

Weg nachzuvollziehen.

Vorfaktoren nicht mitberechnen, sondern nachher durch die Substition mit einfließen lassen, ist ebenfalls endlich angekommen. Jetzt muss ich nur noch verstehen, wie die Funktionaldeterminante genau entsteht. Dass es sehr wahrscheinlich durch y = 2v und z = 3w zustande kommt, kann ich nur vermuten.

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