Vektorraum über C

16.12.2017, 10:21	MichaelF.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum über C Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} W\subseteq V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionaler $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Untervektorraum. Zeigen Sie $\begin{eqnarray} span_{\mathbb C}(W) = V \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} W \cap iW = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Leider habe ich noch kaum Ansätze, ein Denkanstoß wäre daher vielleicht hilfreich. Vielen Dank schon einmal im Voraus
17.12.2017, 19:15	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Michael, naja, sagen wir mal, n=4 und $\begin{eqnarray} W=\langle e_1, ie_1, e_2, ie_2 \rangle_\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann ist W ein vierdimensionaler reeller Vektorraum (reell deshalb, weil der zugrunde liegende Körper die reellen Zahlen sind - im Vektorraum darf ruhig ein i vorkommen, das ist kein Problem). Aber der komplexe Spann von W ist wieder W, weil W eben gleichzeitig auch ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum ist. Passend dazu gilt iW=W, mithin $\begin{eqnarray} W\cap iW = W \end{eqnarray}$ . Hilft dir das schon etwas beim Verständnis der Aufgabenstellung? LG sibelius84
18.12.2017, 13:01	MichaelF.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon etwas denke ich, was wäre denn dann ein Beispiel für $\begin{eqnarray} W \cap iW = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ ? Angenommen, $\begin{eqnarray} dim_{\mathbb R}(W)=n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W= \langle e_{1}, ... ,e_{n} \rangle_{\mathbb R} \end{eqnarray}$ , dann wäre doch $\begin{eqnarray} W \cap iW =\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ oder? LG Michael
18.12.2017, 22:14	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, so sieht's aus

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