Stetigkeit

16.12.2017, 11:47

SimonMathe1

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Stetigkeit

Hallo,
ich soll die Parameter einer Funktion so bestimmen, dass die Funktion stetig ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} D= \mathbb R \end{eqnarray*}$

f(x) =

1. $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} ax-x^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1<x<2 \end{eqnarray*}$
3. b für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} cx^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$

Ich würde immer an der jeweiligen Stelle den linkseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen sonst ist die Funktion ja stetig.

Also

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-} 1+x^2 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} ax-x^3 =a-2 \end{eqnarray*}$

d.h $\begin{eqnarray*} 2=a-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$

Dann 2.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^-} 4x-x ^3 = 0 \end{eqnarray*}$

d.h dann $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$

und 3.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^-} b =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^+} cx^2 = 4 c \end{eqnarray*}$

d.h $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

16.12.2017, 12:37

Leopold

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Das Verfahren stimmt prinzipiell. Allerdings hast du gleich zu Anfang einen Fehler, der sich dann fortpflanzt. $\begin{align*} 1^3 \end{align*}$ ist 1 und nicht 2.
Und setze beim Limes Klammern um die Funktionsterme.

16.12.2017, 13:07

SimonMathe1

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oh danke. Peinlicher Fehler Big Laugh

Big Laugh

smile

Dann geht es noch weiter:
Für $\begin{eqnarray*} a = 1, b = -6 , c =-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
ist f unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Frage, ob es stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass g o f oder f o g stetig auf ganz R sind.

Wie mache ich das?

16.12.2017, 13:46

Leopold

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Ich komme auf $\begin{align*} a=3 \end{align*}$ .

16.12.2017, 13:57

SimonMathe1

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[quote]Original von SimonMathe1
oh danke. Peinlicher Fehler Big Laugh

Big Laugh

smile

Dann geht es noch weiter:
Für $\begin{eqnarray*} a = 1, b = -6 , c =-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
ist f unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Frage, ob es stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass g o f oder f o g stetig auf ganz R sind.
Die Wahl der Parameter ist hier so vorgegeben.
Hast du einen Tipp?

16.12.2017, 17:07

SimonMathe1

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Kann jmd weiter helfen?

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16.12.2017, 17:38

Leopold

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Denke bei $\begin{align*} g \end{align*}$ an den primitivsten Funktionstyp, den man sich vorstellen kann.

16.12.2017, 17:43

SimonMathe1

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Wie soll ich denn dieses g finden? Wie ist das Vorgehen oder die Idee? verwirrt

verwirrt

16.12.2017, 17:49

Leopold

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Versuch es doch einfach einmal. Nimm eine "billige" Funktion. Was fällt dir da ein?

16.12.2017, 18:43

SimonMathe1

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RE: Stetigkeit
f(x) ist

1. $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x-x^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1<x<2 \end{eqnarray*}$
3. -6 für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$

Ich nehme $\begin{eqnarray*} g(x)= x \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x): \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x-x^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1<x<2 \end{eqnarray*}$

3. -6 für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$
Das bringt ja nichts.

Wie finde ich das richtige g?

16.12.2017, 18:46

Leopold

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Du hast die Identität $\begin{align*} g(x)=x \end{align*}$ . Die ändert natürlich nichts. Nimm eine noch primitivere Funktion.

16.12.2017, 18:48

SimonMathe1

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Z.b g(x)=1 ?

16.12.2017, 18:51

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Versuch es doch einfach einmal.

16.12.2017, 18:52

SimonMathe1

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RE: Stetigkeit
d.h ich bekomme dann:
$\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=1 \end{eqnarray*}$ für alle Fälle. Und das ist ja dann stetig.

16.12.2017, 19:05

Leopold

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Und anders herum verkettet?

16.12.2017, 19:29

SimonMathe1

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Kommt das gleiche raus.

16.12.2017, 22:22

SimonMathe1

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Wie finde ich den alle Möglichkeiten?

17.12.2017, 13:36

SimonMathe1

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Also für g(x)=1 ist fog und gof stetig. Gibt es noch andere Fälle?

17.12.2017, 14:08

Leopold

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Es gibt viele Möglichkeiten. Zunächst besorge ich mir eine Funktion, die keine positiven Werte annimmt, z.B. $\begin{align*} g(x)=-x^2 \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} f \circ g \end{align*}$ sicher stetig, denn $\begin{align*} f \end{align*}$ ist in allen Punkten des Intervalls $\begin{align*} (-\infty,0] \end{align*}$ stetig. Mit diesem $\begin{align*} g \end{align*}$ wäre allerdings $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ immer noch unstetig. Das Problem ist, daß die einseitigen Grenzwerte von $\begin{align*} f \end{align*}$ bei Annäherung an $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ , nämlich 0 und 2, verschieden sind. Dann sorge ich halt dafür, daß dies $\begin{align*} g \end{align*}$ gleichgültig ist, daß also $\begin{align*} g(0)=g(2) \end{align*}$ gilt. Dafür könnte man $\begin{align*} g(x) = -x^2(x-2)^2 \end{align*}$ nehmen. Und mit diesem $\begin{align*} g \end{align*}$ sind sowohl $\begin{align*} f \circ g \end{align*}$ als auch $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ stetig.

17.12.2017, 14:34

SimonMathe1

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das g muss doch eine Funktion sein die von R nach R abbildet. Das ist doch g(x)=-x^2 nicht?

17.12.2017, 15:58

Leopold

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Zunächst einmal habe ich die Funktion $\begin{align*} g(x) = -x^2(x-2)^2 \end{align*}$ gewählt und auch erklärt warum. Deinen Einwand verstehe ich trotzdem nicht. Die Funktionen brauchen ja nicht surjektiv zu sein. Im übrigen ist $\begin{align*} f \end{align*}$ das ja auch nicht, denn $\begin{align*} f \end{align*}$ läßt das Intervall $\begin{align*} [0,1) \end{align*}$ aus.

17.12.2017, 16:15

SimonMathe1

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Aber die Aufgabenstellung gibt es so vor dass g surjektiv sein muss. Wie mache ich es dann?

17.12.2017, 16:34

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SimonMathe1
Aber die Aufgabenstellung gibt es so vor dass g surjektiv sein muss.

böse

Das hat man gerne. Mit entscheidenden Angaben hinterher kommen. böse

böse

Jetzt denk einfach selber einmal nach. Ich habe dir ausführlich beschrieben, wie ich mein $\begin{align*} g \end{align*}$ konstruiert habe. Und daran kannst du auch ablesen, warum ich es nicht als surjektiv gewählt habe. Und vielleicht kommst du dadurch auf den Dreh, wie das ist, wenn man ein surjektives $\begin{align*} g \end{align*}$ sucht.

17.12.2017, 16:37

SimonMathe1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SimonMathe1
oh danke. Peinlicher Fehler Big Laugh

Big Laugh

smile

Dann geht es noch weiter:
Für $\begin{eqnarray*} a = 1, b = -6 , c =-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
ist f unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Frage, ob es stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass g o f oder f o g stetig auf ganz R sind.

Wie mache ich das?

Ich habe das doch geschrieben, gleich am Anfang?

17.12.2017, 16:41

Leopold

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Bin ich blind oder du? Wo steht da was von "surjektiv"?

17.12.2017, 16:43

SimonMathe1

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Ich

smile

Tut mir leid. Ich habe da was falsch gesehen Big Laugh

Big Laugh

17.12.2017, 16:45

SimonMathe1

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Aber deine gefundene Funktion bildet nur nach R^- ab.

17.12.2017, 16:46

Leopold

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Ja und? Sie ist eben nicht surjektiv.

17.12.2017, 16:48

SimonMathe1

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Aber da steht $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

17.12.2017, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von SimonMathe1
Aber da steht $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \color{red} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Diese Schreibweise bedeutet nicht, daß jedes Element des Zielbereichs auch erreicht werden muß, sondern nur, wohin die Funktion zielt. Wenn du auf eine Scheibe zielst, triffst du auch nicht alle Punkte, sondern mal diesen, mal jenen, vielleicht auch einen öfter (Nichtinjektivität). Die Surjektivität ist gerade die kennzeichnende Eigenschaft, daß jedes Element des Zielbereichs getroffen wird. Aber von Surjektivität steht nirgendwo etwas.

17.12.2017, 17:06

SimonMathe1

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Ok dann hast du eine passende Funktion gefunden. Danke dir smile

smile

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