Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen

16.12.2017, 11:54	b.frank23	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen Meine Frage: Ich soll bei der Funkuton $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x²+x+1}{x^4+2x³+2x^2+2x+1} \end{eqnarray}$ eine Partialbruchzerlegung durchführen komme aber nicht weiter. Anmerkung: wie das ganze grundsätlich funktioniert ist mir schon klar, aber ich komme halt in diesem speziellen Fall nicht weiter. Ein halbherziges Verlinken auf irgendwelche andere Beiträge hilft mir daher wenig. Schön wäre, wenn sich jemand die Zeit nähme mir das als eine Art Musterlösung mit Erklärungen durchführen könnte, sodass ich weitere Aufgaben selbstständig lösen kann. Meine Ideen: Zunächst muss ich ja die Nullstellen bestimmen. -1 habe ich schnell gefunden. Um das ganze aber berechnen zu können muss man den Bruch ja auseinanderziehen, im Zähler Variablen und im Nenner die Nullstellen. Jetzt habe ich aber nur eine Nullstelle und ich bräuchte doch idealerweise 2 (oder mehr?). Daher muss ich jetzt noch komplexe Nullstellen finden. Also habe ich versucht eine Polynomsdivision durchzuführen. Sprich $\begin{eqnarray} (x^4+2x³+2x²+2x+1)/(x-1) \end{eqnarray}$ . Ich habe dort $\begin{eqnarray} x³+3x²+5x-3 \end{eqnarray}$ herausbekommen mit Rest 4. Eigenlich hätte doch die komplexe Nullstelle aus Rest herauskommen müssen oder nicht? Wolfram Alpha hat mir x=-i und i als Nullstellen herausgespuckt. Damit hätte ich ja drei Nullstellen. Bei der reellen Nullstelle hätte ich jetzt $\begin{eqnarray} \frac{A}{(x+1)} \end{eqnarray}$ geschrieben. Wie gehe ich jetzt mit den komplexen Nullstellen um? Mache ich dann $\begin{eqnarray} \frac{A}{(x+1)} +\frac{B}{(x+i)} + \frac{C}{(x-i)} \end{eqnarray}$ ? Aber im nächsten Schritt muss ich das ganze dann ja auf einen Hauptnenner bringen indem ich quasi kreuzweise mit dem jeweils anderen Nenner multipliziere? Wie gehe ich dann weiter vor?
16.12.2017, 12:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} x^4 + 2x^3 + \color{red} 2x^2 \color{black} + 2x + 1 = x^4 + \color{red} x^2 \color{black }+ 2x^3 + 2x + \color{red} x^2 \color{black} + 1 = x^2 (x^2+1) + 2x(x^2 +1) + (x^2+1) = (x^2+1)(x^2+2x+1) = (x^2+1)(x+1)^2 \end{align}$ Dies zeigt, daß -1 eine doppelte Nullstelle ist. Daher der folgende Ansatz: $\begin{align} \frac{x^2+x+1}{x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1} \end{align}$ Mit diesem Ansatz bekommst du eine rein reelle Zerlegung. Du kannst natürlich auch $\begin{align} \frac{x^2+x+1}{x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{E}{x - \operatorname{i}} + \frac{F}{x + \operatorname{i}} \end{align}$ ansetzen. Dann geht es über das Komplexe.
16.12.2017, 12:09	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ Nullstelle ist dividierst du durch $\begin{eqnarray} (x-(-1))=(x+1) \end{eqnarray}$ . Somit: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray} \polyset{style=C, div=:,vars=x} \polylongdiv{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}{x+1}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$

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