Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) |
| 16.12.2017, 13:32 | Anna145 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass f: R>=0 -> R, x -> Wurzel(x) und g: R>=0 -> R, x -> n-te Wurzel(x) differenzierbar sind und ich soll die Ableitung bilden. Meine Ideen: Ich wollte zunächst erstmal zeigen, dass die beiden Funktionen differenzierbar sind. Dazu weiß ich, dass eine Funktion differenzierbar ist in a, falls der Grenzwert f(a) = lim x->a (f(x)-f(a))/(x-a) existiert. und dass eine Funktion differenzierbar in D ist, wenn f in jedem Punkt a ? D differenzierbar ist. Außerdem weiß ich durch einen Satz,dass x^n differenzierbar ist für n?N Jetzt habe ich überlegt die Wurzel einfach zu einem x^(1/2) bzw x^(1/n) umzuformen, aber das reicht wahrscheinlich noch nicht, da das n aus dem Satz ?N sein muss oder? Ich hab auch schon überlegt, dass ich (f(x)-f(a))/(x-a) zu (Wurzel(x)-Wurzel(a))/(x-a) umforme. Aber das reicht ja auch noch nicht oder? und was mache ich dann damit? Ich freue mich über jede Hilfe |
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| 16.12.2017, 13:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Bei kannst du mit erweitern. Aber bitte nicht den Zähler ausmultiplizieren. 
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| 16.12.2017, 13:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x)
Und wieso nicht? 
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| 16.12.2017, 14:10 | Anna145 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Aber was bringt das wenn ich dann im Nenner (Wurzel(x) + Wurzel(a))*(x-a) stehen habe? und wie komme ich von da aus auf einen Beweis?
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| 16.12.2017, 16:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x)
Knapp vorbei ist auch daneben. 
Ich meinte natürlich den Nenner. (Hüstel)@Anna145: also den Zähler multiplizierst du aus (Stichwort 3. binomsiche Formel), der Nenner bleibt faktorisiert. |
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| 18.12.2017, 16:15 | Anna145 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Aber ist das dann schon ein Beweis, wenn ich das nur umforme? So ganz verstehe ich das Prinzip noch nicht wie man die Differenzierbarkeit zeigt.
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| 18.12.2017, 16:20 | Anna145 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Also ich habe dann ja 1/(Wurzelx + Wurzel a) da stehen, aber was genau bringt mir das?
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| 18.12.2017, 17:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x)
Welche Frage! Wolltest du nicht einen Limes bilden? |
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| 19.12.2017, 11:30 | Anna145 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Differenzierbarkeit von Wurzel(x) und n-te Wurzel(x) Ich wollte die Differenzierbarkeit zeigen, habe ich das damit schon?
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| 19.12.2017, 12:11 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Anna, schau dir doch zur Differenzierbarkeit mal das Beispiel f(x)=x^2 an. Das Problem am Anfang ist ja, dass man formal im Nenner eine 0 stehen hat. Da man nicht durch 0 teilen darf, darf man x=x_0 noch nicht einsetzen. Daher formt man halt um: Huch, der Nenner ist plötzlich verschwunden! 
Also, wenn wir einen neuen Versuch starten, x_0 einzusetzen, dann geht das plötzlich. Denn man teilt ja nicht mehr durch 0. Also setzen wir x_0 ein, es kommt ein Ergebnis heraus, und dies ist die Ableitung von f an der Stelle x_0; insbesondere ist f also in x_0 differenzierbar. (Da x_0 aus |R beliebig gewählt war, ist f auf ganz |R differenzierbar.)Also: Sobald man einsetzen darf, tut man es; das Ergebnis ist der Grenzwert, in diesem Falle die Ableitung. LG sibelius84 |
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