Bernoulli-Ungleichung

16.12.2017, 13:58

Einstein1879

Bernoulli-Ungleichung

Hallo,

gegeben sei für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n-1}\right)>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen sei nun, dass diese Behauptung gleichbeteutend ist mit der Aussage

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n>\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Um dies nun zu zeigen ist mir die strikte Ungleichung in den Sinn gekommen.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n>1+n \cdot x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie muss ich das nun anwenden?

16.12.2017, 15:15

klarsoweit

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RE: Bernoulli-Ungleichung

Zitat:

Original von Einstein1879
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n-1}\right)>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Also das stimmt schon nicht für n=2. Falls du $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n > \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ meinst, dann multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

17.12.2017, 01:10

Einstein1879

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@klarsoweit, du hast vollkommen recht, ich habe leider beim aufschreiben in Latex das hoch n vergessen. Wie kommt man darauf die Ungleichung so zu multiplizieren?

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