Polynome, Irreduzibilität, Prim |
| 16.12.2017, 22:49 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Polynome, Irreduzibilität, Prim Hat vielleicht irgendjemand einen Ansatz, wie ich beweisen könnte, dass bei Polynomen gilt, dass es äquivalent ist, wenn ein Polynom prim oder irreduzibel ist? Meine Ideen: Mir fällt dazu leider nichts ein, die Definitionen der beiden Begriffe verstehe ich eigentlich, aber für den Beweis finde ich irgedwie keinen richtigen Einstieg. |
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| 16.12.2017, 23:34 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » |
Am besten gar nicht, weil es nicht stimmt. Außer du hast spezielle Polynomringe, aber dazu sagst du ja nichts. |
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| 17.12.2017, 11:32 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das stimmt... Es geht um Polynome aus Polynomringen über Körpern. |
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| 17.12.2017, 11:53 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann könntest du verwenden dass es sich um Hauptidealringe handelt. |
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| 17.12.2017, 12:22 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den Begriff hatten wir in der Vorlesung leider noch nicht... |
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| 17.12.2017, 16:30 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Frage ist wirklich wichtig! Eine Antwort würde mich wiklich weiterbringen. |
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| 17.12.2017, 17:10 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo ksslr, dass jedes Primelement in jedem nullteilerfreien Ring irreduzibel ist, kannst du ganz allgemein zeigen, wenn du dir Voraussetzung und Behauptung sauber aufschreibst. Du musst nur nutzen: -> a=xy => a | xy -> a|x und x|a => a=ex mit e eine Einheit aus R (man sagt: a und x sind assoziiert), -> umformen, Ausklammern, Nullteilerfreiheit anwenden. Dass jedes irreduzible Element in Polynomringen über Körpern prim ist, ist evtl. die etwas anstrengendere Richtung: Sei p|qr. Zu zeigen: p|q oder p|r. Im Polynomring haben wir so mächtige Werkzeuge parat wie: Division mit Rest, (Erweiterter) Euklidischer Algorithmus, Grad. Gerade der Grad macht manche Beweise im Polynomring sehr angenehm kurz. Nimm an, dass p weder q noch r teilt. Dann könntest du q und r beide mit Rest durch p dividieren. Die so erhaltenen Darstellungen setzt du in das Produkt qr (das nach Voraussetzung durch p teilbar ist) ein und multiplizierst aus. Betrachte das, was dann da steht. Kann das wirklich durch p teilbar sein oder ist da vielleicht der gesuchte Widerspruch? 
edit: so ganz, wie ich mir das vorgestellt hatte, läuft das leider doch nicht. Da die beiden Reste multipliziert werden, könnte der Grad des Produktes wiederum größergleich dem von p sein. Aber vielleicht hilft dir der Versuch ja schon etwas beim eigenen Rumprobieren. LG sibelius84 |
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| 17.12.2017, 19:02 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den zweiten Teil habe ich selber hinbekommen, aber worauf du da im erstem Teil hinauswillst verstehe ich nicht so ganz, wäre nett, wenn du das noch ein wenig ausführlicher erklären könntest. Vielen Dank schonmal für die Hilfe! |
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| 17.12.2017, 19:54 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, super, das mit dem zweiten Teil. 
Zum ersten - du sagst ja: Sei so, dass aus stets folgt, dass oder . Zu zeigen ist, dass p irreduzibel ist, also: falls p=ab, so ist entweder a oder b eine Einheit. p=ab heißt trivialerweise auch p|ab, also kannst du die Voraussetzung anwenden, dass p prim ist. Beachte, dass auch a und b Teiler von p sind. Zusammen mit den Bemerkungen von vorher hilft das evtl. schon etwas? |
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| 17.12.2017, 20:12 | ksslr | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank, jetzt hab ich es kapiert. 
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