Oberflächeninhalt

17.12.2017, 12:10	hokkas87	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächeninhalt Meine Frage: Guten Tag ! Ich habe die Aufgabe wo ich nicht weiterkomme als Bild hochgeladen. Meine Ideen: Ich kenne die Formel wie man die Oberfläche berechnet. Es geht so : $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \|\frac{d\vec{x} }{du_1}\times \frac{d\vec{x} }{du_2}\| \, dx \end{eqnarray}$ Ich frage mich jetzt ob es um den graphen der Funktion sqrt(3) t^2 geht also muss ich das Kreuzprodukt berechnen ?
17.12.2017, 13:14	hokkas87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächeninhalt Ich habe nun die Partielle Ableitung nach t berechnet und kriege : $\begin{eqnarray} ( (1-3t^2) cos(\phi) , (1-3t^2) sin(\phi), 2\sqrt{3} t) \end{eqnarray}$ raus. und die Partielle Ableitung nach phi wäre $\begin{eqnarray} ( (t^3-t) sin(\phi) , (t^3-t) cos(\phi), 0) \end{eqnarray}$ und wenn ich nun das Kreuzprodukt berechne komme ich auf : $\begin{eqnarray} ( -2\sqrt{3}t(t-t^3) cos(\phi) , -2\sqrt{3}t(t-t^3) sin(\phi), (1-3t^2)(t-t^2)) \end{eqnarray}$ aber beim betrag dieses kreuzproduktes wird es nun ziemlich kompliziert kann mir da jemand helfen ? bzw. bin ich auf dem richtigen weg ?
17.12.2017, 15:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint, du hast bei der Berechnung der Ableitung nach $\begin{align} \varphi \end{align}$ einen Vorzeichenfehler gemacht. Vielleicht ist es auch nur ein Schreibfehler, denn beim Kreuzprodukt habe ich dasselbe heraus wie du - fast dasselbe, denn ganz hinten ist wieder ein Schreibfehler bei der Potenz. Bei der Berechnung des Betrags kann man die Regel $\begin{align} \left\| \lambda \vec{a} \right\| = \|\lambda\| \cdot \left\| \vec{a} \right\| \end{align}$ auf $\begin{align} \lambda = t-t^3 \end{align}$ anwenden, und weil der Ausdruck im fraglichen Bereich nichtnegativ ist, entfallen sogar die Betragsstriche. Der Rest ist nicht mehr schwer auszurechen. Insgesamt komme ich auf den folgenden Betrag: $\begin{align} \left( t - t^3\right) \cdot \left( 3t^2 + 1 \right) \end{align}$
17.12.2017, 16:39	hookas87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und vielen Dank für die Antwort und deine Hilfe ! Ja die Fehler stimmen danke für den Hinweis Wenn ich den Betrag rechne komme ich auf : $\begin{eqnarray} \sqrt{(-2\sqrt{3}t(t-t^3))^2 + (1-3t^2)^2(t-t^3)^2 } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{12t^2(t-t^3)^2 + (1-3t^2)^2(t-t^3)^2 } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{(t-t^3)^2( 12t^2 + (1-3t^2)^2 ) } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (t-t^3)\sqrt{ (3t^2+1)^2 } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (t-t^3) (3t^2+1) \end{eqnarray}$ oh bin jetzt auch drauf gekommen danke und jetzt zum Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{2\pi} \! (t-t^3) (3t^2+1) \, d \phi dt \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{2\pi} \! (2t^3-3t^5+t) \, d \phi dt \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2\pi \int_{0}^{1} \! (2t^3-3t^5+t) \, dt \end{eqnarray*}$ = pi stimmt das ?
17.12.2017, 16:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Aber das $\begin{align} t-t^3 \end{align}$ hättest du gleich am Anfang vor den Betrag ziehen können, statt es noch durch die ganze Rechnung zu ziehen (siehe Regel).
17.12.2017, 16:57	hokkas87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für deine Hilfe Leopold
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05.02.2018, 19:35	hokkas87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal Leopold und an alle anderen Mathematiker Ich frage mich ob die Aufgabe falsch bearbeitet wurde.. In der Aufgabenstellung steht ja es wurde eine Rotationsfläche beschrieben.. also muss ich vllt ja doch nicht das kreuzprodukt der partiellen Ableitungen bilden, denn diese ist ja schon gegeben also diese ist ja dann schon F oder verstehe ich das falsch ?

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