Mehrdimensionale Brownsche Bewegung

17.12.2017, 15:15	Giftler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Brownsche Bewegung Berechnen Sie für eine 2-dimensionale Standard Brownsche Bewegung $\begin{eqnarray} (X(t))_{t\geq 0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X(0) = 0 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(X(t) \in K_r) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} K_r \end{eqnarray}$ die Kreisscheibe mit Radius $\begin{eqnarray} r > 0 \end{eqnarray}$ und Mittelpunkt $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ beschreibt. Wie kann ich hier ansetzen? Danke und Grüße
17.12.2017, 15:46	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Brownsche Bewegung Hallo, du kennst doch die Verteilung von $\begin{eqnarray} X(t) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} t > 0 \end{eqnarray}$ . Du solltest außerdem zwei Fälle unterscheiden: 1. Fall: $\begin{eqnarray} t\leq r \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} t > r \end{eqnarray}$ . Der 2. Fall ist einfach, für den 1. Fall musst du dir überlegen, wie groß $\begin{eqnarray} X(t) \end{eqnarray}$ betragsmäßig maximal sein darf, um noch im Kreis zu liegen. Grüße
17.12.2017, 15:49	Giftler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke mein Ansatz wäre: Dichte der 2 dimensionalen Standard Brownsche Bewegung ist bekannt (2-dim Gaußverteilung mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix diag(t)). $\begin{eqnarray} P(X(t)\in K_r)=\int_{x_1^2+x_2^2=r^2}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 \end{eqnarray}$ Ich würde jetzt das Integral umformen, sodass $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ abhängt und nachdem ich das Integral über x_2 gelöst habe das restliche Integral als Bedingte Wahrscheinlichkeit auffassen. Für die Bedingte Wahrscheinlichkeit einer 2-dimensionalen Gauss-Verteilung gibt es die Formel: $\begin{eqnarray} x_1\|x_2 \sim \mathcal{N}(CB^{-1}X_1,A-CB^{-1}C^2) \end{eqnarray}$ Ich bin mir aber nicht sicher wie ich das Integral mit der Bedingung $\begin{eqnarray} x_1^2+x_2^2=r^2 \end{eqnarray}$ umschrieben soll. $\begin{eqnarray} P(X(t)\in K_r)=\int_{x_1^2+x_2^2=r^2}\frac{1}{2\pi t}e^{-0.5(x_1^{2}+x_2^{2})/t}dx_1dx_2 \end{eqnarray}$ Wie forme ich das aber weiter um?
17.12.2017, 15:58	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich war bei der eindimensonalen BB, vergiss mein Vorgehen. Ich muss nochmal dürber nachdenken, wenn jemand helfen kann, gerne. Entschuldige nochmal...
17.12.2017, 16:09	Giftler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mein Ansatz scheint schon irgendwo Lücken zu haben, da $\begin{eqnarray} C=0 \end{eqnarray}$ wäre und damit die bedingte Gaußverteilung sehr einfach aussehen würde.

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