Ungleichung mit Reihen

17.12.2017, 19:00	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Reihen Hey Leute, ich möchte Definitions- und Lösungsmenge dieser Ungleichung bestimmen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4^n+6x^{n-1}}{(2+3x)^n} <1 \end{eqnarray}$ Die Definitionsmenge ist gerade IR ohne die Nullstelle des Polynoms 2+3x. Zur Ermittlung der Lösungsmenge bin ich so vorgegangen: Ich habe die Reihe in zwei aufgespalten. Dann kann ich untersuchen unter welcher Bedingung beide konvergieren und durch die Ermittlung der Konvergenzradien (bzw. konvergenzbereich) eine Gleichung aufstellen, die ich nach x lösen kann. Soweit so "gut", jedoch habe ich gemerkt, dass ich dadurch nur jene x gefunden habe, für die die Reihe gerade gegen Werte zwischen -1 und 1 konvergiert. Ist mein Vorgehen falsch, bzw. wie erreiche ich noch jene Werte zwischen -unendlich bis -1 sowie die (mögliche) Divergenz (=Konvergenz gegen -unendlich in den erweiterten Reellen Zahlen? Danke und LG!
17.12.2017, 20:21	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo manuel459, das Ganze läuft im Prinzip über die geometrische Summenformel. Dass die Reihensumme < 1 sein soll, heißt ja insbesondere (wie du schon sagst), dass die Reihe konvergent sein soll. Also müsstest du (im Sinne von "\|q\|<1") erstmal nachschauen, für welche x gilt, dass 4/(2+3x)<1, und 6x/(2+3x)<1. Für diese x konvergiert dann die Reihe und du kannst ihren Grenzwert nach Umformung mit der geometrischen Summenformel ausrechnen. Bei dem Ausdruck, der herauskommt, kannst du relativ elementar nach x umformen. LG sibelius84
18.12.2017, 08:54	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Sibelius, Danke für deine Antwort! Habe ich denn damit auch den Fall abgedeckt, dass der Grenzwert -unendlich ist? Eigentlich doch nicht oder? LG
18.12.2017, 10:43	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, nein, hast du nicht, ist aber denke ich auch nicht gefragt. Die Regel bzw. Konvention in Ana 1 ist in aller Regel, dass man über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ rechnet, nicht über $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray}$ . Wenn nach dem Definitionsbereich gefragt ist, dann dürfte der als reelle Ungleichung gemeint sein. Außerdem vermute ich, dass es zumindest kein x gibt, so dass die Reihe monoton fallend gegen Minus Unendlich divergiert - möglicherweise sogar noch nicht mal so, dass sie überhaupt gegen Minus Unendlich geht. Selbst wenn die 'q's aus der geometrischen Reihe negativ sind, dann alternieren die entsprechenden Summanden.
18.12.2017, 10:55	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich verstehe, dann habe ich die Aufgabe durchblickt! Vielen Dank!

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