Markovkette Abhängigkeit

17.12.2017, 19:39	9halbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette Abhängigkeit Meine Frage: Hallo, Ich soll zeigen, dass X_(i-1) und X_(i+1) abhängig sind für alle i>1. Meine Ideen: Ich dachte das gilt immer nur für den direkt drauf folgenden Zustand? Jetzt liegt ja ein Zustand dazwischen
17.12.2017, 20:06	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo 9halbe, nein, hier ist Mathematik mal ausnahmsweise wie das wirkliche Leben: Die Abhängigkeit verwässert sich zwar, bleibt aber dennoch bestehen. Wenn es heute schneit und morgen taut, dann haben wir übermorgen Matsch auf den Straßen. LG sibelius84
18.12.2017, 14:18	9halbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sibelius84, danke für deine Antwort! Hehe okay. Aber wie kann ich das beweisen?
18.12.2017, 17:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Behauptung ist irgendwie Blödsinn: Schließlich ist auch eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen $\begin{align} (X_n) \end{align}$ eine Markov-Kette (wenn auch eine triviale), und für diese Markovkette gilt die Behauptung nicht.
18.12.2017, 18:24	9halbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh lässt dich das auch irgendwie formal beweisen?
19.12.2017, 15:54	franzqwer1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sibelius84 "Die Abhängigkeit verwässert sich zwar, bleibt aber dennoch bestehen." Das stimmt so nicht. Betrachten wir eine Hilfsfolge iid. Zufallsvariablen x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7,.... Dann definieren wir die Folge y: y1:=x1x2; y2:=x2x3; y3:=x3x4; y4:=x4x5; .... Dann sind alle benachbarte Folgeglieder yi und y(i+1) abhängig, ansonsten sind yi und yj für \|i-j\|>1 unabhängig.
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19.12.2017, 16:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@franzqwer1 Es mag zwar stimmen, dass dein $\begin{align} Y_{n+1} \end{align}$ von $\begin{align} Y_{n-1},Y_{n-2},\ldots \end{align}$ unabhängig ist, leider ist aber dieses $\begin{align} (Y_n) \end{align}$ i.a. gar keine Markovkette - Beispiel: Alle $\begin{align} X_i \end{align}$ seien identisch verteilt gemäß $\begin{align} P(X_i=-1)=\frac{1}{3},P(X_i=1) = \frac{2}{3} \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} P(Y_3 = 1 \mid Y_2 = 1) = \frac{P(Y_2=1,Y_3=1)}{P(Y_2=1)} = \frac{P(X_2=1,X_3=1,X_4=1)+P(X_2=-1,X_3=-1,X_4=-1)}{P(X_2=1,X_3=1)+P(X_2=-1,X_3=-1)} = \frac{3}{5} \end{align}$ $\begin{align} P(Y_3 = 1 \mid Y_2 = 1,Y_1=1) = \frac{P(Y_1=1,Y_2=1,Y_3=1)}{P(Y_1=1,Y_2=1)} = \frac{P(X_1=1,X_2=1,X_3=1,X_4=1)+P(X_1=-1,X_2=-1,X_3=-1,X_4=-1)}{P(X_1=1,X_2=1,X_3=1)+P(X_1=-1,X_2=-1,X_3=-1)} = \frac{17}{27} > \frac{3}{5} \end{align}$ $\begin{align} P(Y_3 = 1 \mid Y_2 = 1,Y_1=-1) = \frac{P(Y_1=-1,Y_2=1,Y_3=1)}{P(Y_1=-1,Y_2=1)} = \frac{P(X_1=-1,X_2=1,X_3=1,X_4=1)+P(X_1=1,X_2=-1,X_3=-1,X_4=-1)}{P(X_1=-1,X_2=1,X_3=1)+P(X_1=1,X_2=-1,X_3=-1)} = \frac{5}{9} < \frac{3}{5} \end{align}$ , Widerspruch zur Markov-Eigenschaft!
09.01.2018, 11:49	franzqwer1	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 Vielen Dank für dieses Gute Beispiel!

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