Algebrenhomomorphismus

17.12.2017, 22:02

larry567

Algebrenhomomorphismus

Hallo zusammen,

ich habe mich seit Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt.

Sei $\begin{eqnarray*} p:= x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8:=\mathbb F_2[x]/p\mathbb F_2[x] \end{eqnarray*}$ ein Körper mit 8 Elementen ist und zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi :\mathbb F_8 \rightarrow \mathbb F_8, \alpha \rightarrow \alpha^2 \ ein \ \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ -Algebrenhomomorphismus ist.

Ich habe den ersten Teil bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ ein Körper ist: weder 0 noch 1 sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist ein Körper mit 8 Elementen. Aber zu zeigen, dass die Abbildung ein F_2 Algebrenhomomorphismus ist, kann ich nicht wirklch nachvollziehen, wie ich dass beweisen kann...

Eure Hilfe ist sehr willkommen.

VG,
Larry

17.12.2017, 23:02

sibelius84

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Hallo larry,

für einen Algebrenhomomorphismus musst du doch zweierlei zeigen:

f(a+b) = f(a) + f(b) für alle a,b aus F_8,
f(ma) = mf(a) für alle $\begin{eqnarray*} a \in F_8, m \in F_2. \end{eqnarray*}$

Rechne diese beiden Sachen einfach nach. Beim ersten Punkt solltest du benutzen, dass 2=0 über F_2 gilt.

LG
sibelius84

17.12.2017, 23:56

larry567

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Guten Abend sibelius84,

ich danke Dir für dich Nachricht. Muss ich etwas weiteres über den Körper erklären, sodass alles wohldefiniert ist oder ist alles eher unnötig, weil ich nur die zwei Eigenschaften zeigen muss?

18.12.2017, 00:46

larry567

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Ich habe eine weitere Frage zu einer ähnlichen Aufgaben:

Seien $\begin{eqnarray*} p_1(T) := T^3 +T +1, p_2(T) := T^3 +T^2 +1, p_3(T) := T^2 +T +1 \in F_8[T] \end{eqnarray*}$ . Bestimme alle Wurzeln von $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ . Welche der Polynome sind irreduzibel?

Muss ich hier alle Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ in T einsetzen und dann Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen? Die Körperelemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ sind: $\begin{eqnarray*} 0,1,x,x+1,x^2,x^2 +1, x^2+x,x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt muss ich jede in $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ einsetzen. Danach setzt ich die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ein, um die Nullstellen zu bekommen. Ist das richtig?

18.12.2017, 09:18

Elvis

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Die Nullstellen müssen nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ liegen sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8=\mathbb F_2[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray*}$ . Setzt man z.B. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} p_1(T) \end{eqnarray*}$ ein, so sieht man $\begin{eqnarray*} p_1(x)=x^3+x+1=0 \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ .

Allgemein: setze die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ in die Polynome $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ ein und reduziere modulo $\begin{eqnarray*} x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ .

Zusatzfrage: Polynome vom Grad 2 oder 3 sind genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstelle haben.

18.12.2017, 10:35

sibelius84

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Zitat:

Original von larry567
Guten Abend sibelius84,

ich danke Dir für dich Nachricht. Muss ich etwas weiteres über den Körper erklären, sodass alles wohldefiniert ist oder ist alles eher unnötig, weil ich nur die zwei Eigenschaften zeigen muss?

Natürlich wäre es gut für dich selber, wenn du verstehst, warum man hier (wenn man möchte) über einen Algebren-Homomorphismus sprechen kann. Für die Aufgabe reicht es aber tatsächlich, nur die beiden benannten Eigenschaften nachzuweisen.

Zu den Nullstellen:
Sobald du zu einem Polynom so viele Nullstellen gefunden hast, wie sein Grad ist, kannst du aufhören. Denn bekanntlich kann ja zB ein Polynom dritten Grades (über einem Körper / Integritätsring) höchstens drei Nullstellen haben.

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