Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters

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17.12.2017, 22:51	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters Hallo, meine Aufgabenstellung lautet: $\begin{eqnarray} M = \left\{f,g,h,i\right\} \end{eqnarray}$ sei eine Menge linear unabhängiger Vektoren aus einem Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dim(V)\geq4 \end{eqnarray}$ . Wie muss $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit $\begin{eqnarray} \left\{f+g,g+h.h+i,i+\alphaf\right\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind? Leider tu ich mich noch schwer mit solchen unkonkreten Aufgaben. Dementsprechend weiß ich nicht wo ich ansetzen soll. Ich hoffe mir kann einer Helfen.
17.12.2017, 22:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann sind vier Vektoren linear abhängig?
18.12.2017, 10:02	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Determinante 0 ist, oder wenn man einen als Linearkombination des anderen erzeugen kann. Ich weiß halt nur nicht wie ich das zeigen soll das dem nicht so ist.
18.12.2017, 16:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Vektoren allgemein gehalten sind wirst Du mit der Determinante nicht weit kommen. Es gibt aber noch ein anderes Kriterium, das sich auf die Darstellung der 0 bezieht.
18.12.2017, 16:41	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
mhmhm... ich kenne die Determinante, dann das man ein LGS bildet, wo man wenn man jeden Vektor mit einem skalar multipliziert und dann zusammen addiert ein Nullvektor rauskommen muss. Mehr haben wir bisher nicht kennen gelernt... Oder es will mir einfach nicht einfallen.. Welches Kriterium meinst du denn?
18.12.2017, 23:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters Die letzte Variante meinte ich. Der Ansatz lautet also $\begin{eqnarray} \ \lambda_1\cdot (f+g) + \lambda_2\cdot (g+h) + \lambda_3\cdot (h+i) +\lambda_4\cdot(i+\alpha\cdot f)=0 \end{eqnarray}$ und es ist zu folgern, dass $\begin{eqnarray} \lambda_i=0 \end{eqnarray}$
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19.12.2017, 09:54	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters $\begin{eqnarray} &&\lambda_{1}(f+g)+\lambda_{2}(g+h)+\lambda_{3}(h+i)+\lambda_{4}(i+\alphaf)=0\\&&=\lambda_{1}f+\lambda_{1}g+\lambda_{2}g+\lambda_{2}h+\lambda_{3}h+\lambda_{3}i+\lambda_{4}(i+\lambda_{4}\alphaf=0\\&&=g(\lambda_{1}+\lambda_{2})+h(\lambda_{2}+\lambda_{3})+i(\lambda_{3}+\lambda_{4})+\alphaf(\lambda_{4}+\lambda_{1})=0 \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht ganz sicher, ob der bisherige Weg so richtig ist, oder ob der letzte Schritt vlt Zuviel war... aber jetzt stehe ich gerade wieder auf dem Schlauch. Ich hatte im Skript einen ähnlichen Ausdruck gefunden wie der letzte. Da stand das der Ausdruck null ist, wenn $\begin{eqnarray} \lambda-\lambda \end{eqnarray}$ denke mal das gilt auch für $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ null ergibt. Aber ob das für die Aufgabe relevant ist
19.12.2017, 13:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der letzte Klammerausdruck ist nicht korrekt.
19.12.2017, 14:22	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay... wenn ich für die Null die linearkombination $\begin{eqnarray} \lambdaf+\lambdag+\lambdah+\lambdai \end{eqnarray}$ einsetze? Weil das ist ja auch null. Wenn das auch nicht richtig ist, wäre es nett wenn du mir irgendwie eine kleine Hilfestellung geben würdest was ich ansosnten machen muss...
19.12.2017, 17:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters Mein letztes Posting war vom Handy in der Mittagspause gesendet und ist daher entsprechend kurz ausgefallen. Was ich meinte ist, dass Du den letzten Klammerterm falsch bestimmt hast. Es ist ja $\begin{eqnarray} \lambda_1 \cdot f + \lambda_4\cdot \alpha f=(\lambda_1+\lambda_4 \alpha)f \end{eqnarray}$ Das Kriterium für lineare Unabhängigkeit besagt nun, dass diese Kombination nur trivial möglich ist, d.h. alle einzelnen Klammern sind Null. Damit erhältst Du ein LGS mit den Unbekannten $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ . Damit deine Menge linear unabhängig ist, muss sich $\begin{eqnarray} \lambda_i=0 \end{eqnarray}$ als einzige Lösung ergeben.
19.12.2017, 18:07	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit bezüglich eines Parameters meinst du also dass das LGS für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ so aussehen muss? $\begin{eqnarray} &&\lambda_{1}+\lambda_{2}=0\\&&\lambda_{2}+\lambda_{3}=0\\&&\lambda_{3}+\lambda_{4}=0\\&&\lambda_{4}\alpha+\lambda_{1}=0 \end{eqnarray}$ das kann aber ja nur aufgehen, wenn als Beispiel $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=\lambda_{1}^{-1} \end{eqnarray}$ ist, oder $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=0 \end{eqnarray*}$ sind. kann ich dann zeigen dass ersteres nicht geht sodass es nur 0 sein kann?
19.12.2017, 18:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du zu dem multiplikativen Inversen? Du kannst ganz einfach das Einsetzungsverfahren nutzen, um auf eine Bedingung für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu kommen. Die erste Gleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lambda_2=-\lambda_1 \end{eqnarray}$ . Das setzt Du in die 2. ein und schließt auf $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ usw.

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