Primkörper

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Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »
Primkörper
Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Ich soll beweisen:
Für
(p prim) definiert
v ~ w
für ein geeignetes , eine Aquivalenzrelation auf der Menge

Wie viele Aquivalenzklassen für p = 5 und n = 3 gibt es?

Dafür muss ich zeigen, dasss v~w reflexiv,symmetrisch und transitiv ist.

Ich verstehe nicht ganz, was genau bedeuten soll. Heißt dass hoch n , dass es n Elemente gibt?

1. reflexiv: v~v, denn mit
2. symmetrisch: v~w folgt w~v, denn folgt mit
Das kann ja nicht sein?
Was mache ich falsch? verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Boggie123,

also, bezeichnet in der Regel den endlichen (Prim-)Körper mit p Elementen, und eben den dazugehörigen n-dimensionalen Vektorraum (analog z.B. zu und ).

Anders ist es, wenn das n als Exponent am p im Index steht, also . Dann handelt es sich um den endlichen Körper mit p^n Elementen.
(Das ist trotzdem auch ein n-dimensionaler -Vektorraum bzw., wenn man so will, sogar eine -Algebra, aber zusätzlich eben selbst auch noch ein Körper.)

LG
sibelius84
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dirsmile
D.h mein kann ich als kartesisches Produkt auffasen.

Was sagt du zu meinem Beweisanfang?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

reflexiv ist gut.

Bei symmetrisch hast du völlig Recht, dass das nicht sein kann. Du hast eine Gleichung v=cw gegeben und musst diese nach w umformen. Du musst also das c von der rechten Seite wegbekommen. Wie machst du das?

Die Transitivität ergibt sich ganz locker, wenn du die Voraussetzungen v=cw und w=dx (mit c, d € F_p) betrachtest und die zweite in die erste einsetzt.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Vllt mit multiplizieren?

Also dann:
dann

oder?
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Transitivität:

v~w und w~t folgt v ~t, denn

und

D.h. Definiere

also

hoffe das passtsmile

Dann die Frage: Wie viele Aquivalenzklassen für p = 5 und n = 3 gibt es?
Also ich habe dann das

F_5 hätte ja 5 Äquivalenzklassen. Hat dann 5^3 5 Äquivalenzklassen?
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht ganz. Die neue Äquivalenzrelation besteht ja darin, dass man Klassen von Vielfachen von Vektoren zusammenfasst. Etwa in :

K1 = {(1,0), (2,0), (3,0), (4,0)}

K2 = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,4)}

K3 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

K4 = {(1,2), (2,4), (3,1), (4,3)}

K5 = {(2,1), (4,2), (1,3), (3,4)}

K6 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

Insgesamt also 24/4 = 6 Äquivalenzklassen.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich dann auch 6 in
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder wie ist das?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Fang doch einfach mal mit dem Vektor



an. Wie viele Vielfache kannst du davon bilden?

Wenn du das raushast, knöpfst du dir die Vektoren e_2 und e_3 vor. Das dürfte dann nicht mehr allzu lange dauern. Als nächstes vielleicht einen Vektor wie . Auch hier und bei zwei ähnlich gearteten Vektoren kommst du schnell zu Ergebnissen. Die Rechenweise "modulo 5" kommt erst bei einem Vektor wie etwa ins Spiel. Aber wenn du das sauber aufschreibst und durchspielst, auch kein Problem. Irgendwann hast du ziemlich viele Äquivalenzklassen beisammen. Dann könntest du schauen, ob es noch irgendeinen Vektor gibt, der noch in keiner Äquivalenzklasse dabei ist. Falls nein, hast du gewonnen. Falls ja, kannst du die nächste Äquivalenzklasse bilden und nachher wieder schauen, ob das jetzt alle sind oder ob noch einer fehlt.

Das sind natürlich ziemlich viele Äquivalenzklassen. Aber auf dem Weg könnte dir auffallen, dass sie alle gleich viele Elemente haben. Wenn du dann allgemein begründen hast, dass jede Äquivalenzklasse diese Anzahl von Elementen hast, und dir überlegst, wie viele Elemente die Grundmenge hat, auf der die Äquivalenzrelation definiert ist, dann kannst du die gesuchte Anzahl auch auf diesem Wege herauskriegen und brauchst nicht weitersammeln.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei e_1 kann ich 2*e_1, 3*e_1 und 4*e_1 bilden, genauso bei e_2 und e_3.
d.h es gibt jeweils 3 Äquivalenzklassen
Dann der Vektor (1,1,0). Dieser kann auch bis 4 multiplizert werden.
Dann der Vektor(1,0,1) genauso
Dann der Vektor (0,1,1) auch so

Das sind wieder 3 Äquivalenzklassen

Dann der Vektor (2,1,0) . Dieser Vektor ist Repräsentant folgender Klasse:

K7= {(2,1,0), (4,2,0), (1,3,0),(3,4,0)}
Dann geht ja auch noch (1,2,0)
und (0,2,1) und (2,0,1) und (1,0,2) und (0,1,2)
Also 6 Klassen

Das geht ja dann auch mit (3,1,0)
davon gibt es auch 6 Klassen wie vorher

Und dann auch zu (4,1,0) , wo es auch wieder 6 klassen gibt

Dann fehlt noch sowas wie (1,1,1)

Kann das so sein?
Oder sehe ich was falsch?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Äquivalenzklassen sind immer vierelementig. Du musst ja das Ausgangselement auch noch mit dazuzählen. Also wenn du mit e_1 beginnst und dann noch 2e_1, 3e_1, 4e_1 als weitere (!) Angehörige der Äquivalenzklasse identifizierst, dann hast du

K1 = {e_1, 2e_1, 3e_1, 4e_1} -> vierelementig.

Ist dir klar, wie viele Elemente |F_5^3 insgesamt hat, und auf welcher Grundmenge die Äquivalenzrelation definiert ist?
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zähle dann 25 klassen. Habe ich richtig gezählt also alle Vektoren gefunden.
Mit der Grundmenge ist mir das nicht klar leider.
Bestimmt kann ich das auch allgemein bestimmen. Wie geht das?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektorraum hat 5^3=125 Elemente. Die Grundmenge, auf der deine Äquivalenzrelation definiert ist, ist . Sie hat demnach 124 Elemente. Wenn du nun allgemein zeigen kannst, was du speziell schon herausgefunden hast - nämlich, dass jede Äquivalenzklasse vier Elemente enthält -, dann ist die Frage nach der Anzahl der Klassen mit diesem allgemeineren Vorgehen durchaus schnell beantwortet, ja.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich das allgemein zeigen. Hast du einen Tipp?
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nämlich die gleiche Aufgabe und mich würde die Lösung natürlich sehr interessieren smile smile
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84:
Ich habe ja nur 25 klassen gezählt. Das sind 4 *25=100 Elemente. Fehlt da noch was?
Vlllt zum allgemeinen Vorgehen. Ich habe ja modulo 5. D.h es gibt dann in der Äquivalenztelation v=cw, 5-1 Elemente. Also allgemein n-1. Dann haben wir bei Vekor z.b aus drei Komponenten bei der kanonischen Darstellung 3 Klassen, also im allgemeinen n.
Dann kann kanm ein Vektor aus gleichen zahlen bestehen. Dann gibt es wieder 3 Klassen also im allgemeinen wieder n.
Dann können 2 zahlen sich unterscheiden. D.h in Abhängigkeit von p gibt es dann 6 klassen mal p-1. Also allgemein n*(p-1).
Das geht wsl nicht als Beweis oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Melanie, sei herzlich willkommen! smile

Das mit dem "allgemein n-1" geht in die richtige Richtung: versucht mal "allgemein p-1". Denn schließlich gilt ja v~w genau dann, wenn existiert mit v=cw, und .

Damit hat man gezeigt, dass jede Äquivalenzklasse genau p-1 Elemente enthält. Wenn man sich nun überlegt, wie viele Elemente enthält, kann man einfach dividieren und ist fertig.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das p beschreibt ja wie viele Vielfache eines Vektors ich bilden kann bei c=p erhalte ich den gleichen. D.h es gibt p-1 Elemete in einer Klasse. Reicht das als Beweis? smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ja Freude
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann hat allgemein Elemente. In meinem Fall . Also dann oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Jap Rock
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir siblius84. Habe noch einen schönen abend smile ))) Wink Freude Freude
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