Stetigkeit der Funktion f(x)=1/x

18.12.2017, 15:45	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Funktion f(x)=1/x Edit (mY+): Ich habe den Titel geändert, denn "Hyperbelfunktion" ist ein Begriff für einen eigens definierten Funktionstyp (Hyperbelfunktionen, mit e-Potenzen). Natürlich ist der Graph von 1/x geometrisch eine Hyperbel. -------- Hallo zusammen, Ich komme bei dem Beweis der Stetigkeit folgender Funktion ab einem Punkt nicht weiter: Aufgabe: Zeigen Sie , dass $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R , f(x)= \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ stetig ist. Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x - x_0\|< \delta \end{eqnarray}$ . Zu Zeigen: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| = \Big\|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\Big\| = \Big\|\frac{x_0-x}{x \cdot x_0}\Big\| = \Big\|\frac{x-x_0}{x \cdot x_0}\Big\| < \Big\| \frac{\delta}{x \cdot x_0} \Big\| = \frac{\delta}{\|x \cdot x_0\|} = \frac{\delta}{\|x\| \cdot \|x_0\|} \end{eqnarray}$ Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen: Fall 1: $\begin{eqnarray} \|x\| \geq 1 : \frac{\delta}{\|x\| \cdot \|x_0\|} \leq \frac{\delta}{\|x_0\|} \Rightarrow \delta := \epsilon \cdot \|x_0\| \end{eqnarray}$ , so dass : $\begin{eqnarray} \frac{\delta}{\|x_0\|} = \epsilon \end{eqnarray}$ Fall 2 : weiß ich nicht weiter , bitte um Hilfe ! LG Snexx
24.12.2017, 00:51	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, die Fallunterscheidung ist eigentlich nicht notwendig. Versuch mal, im Nenner $\begin{eqnarray} \|x\| \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{\|x_0\|}{2} \end{eqnarray}$ abzuschätzen, natürlich mit Rechtfertigung für geeignet gewähltes $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ .

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