Vektorraum von Folgen

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18.12.2017, 16:02	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum von Folgen Meine Frage: Sei K ein Körper und s(K) der Vektorraum der Folgen mit Werten in K. Wir definieren für $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die Folge $\begin{eqnarray} (e^{i}_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in s(K) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} e^{i}_{n} := \begin{cases} 1 falls n=i \\ 0 fur alle n\neq i \end{cases} \end{eqnarray}$ Ferner bezeichnen wir die Menge aller solcher Folgen mit $\begin{eqnarray} B:=\left\{ (e_{n}^{i})_{n \in \mathbb{N}} \| i \in \mathbb{N} \right\} \subseteq s(K) \end{eqnarray}$ (a) Zeigen Sie, dass die Menge B linear unabhängig ist. (b) Zeigen Sie, dass B kein Erzeugendensystem von s(K) ist. (c) Bestimmen Sie das Erzeugnis von B. Meine Ideen: (a) Angenommen B wäre lin. abhängig, dann muss es zwei paarweise verschiedene Folgen mit einer 1 an der selben Stelle geben. Da jede Folge nur genau an der i-ten Stelle eine 1 hat. Damit würde $\begin{eqnarray} e_{n}^{i}=e_{n}^{j} \end{eqnarray}$ gelten, ein Widerspruch dazu, dass die Folgen paarweise verschieden sind. (b)Ich weis nicht wieso das gelten soll, ich hatte mir eigentlich gedacht, dass die Folgen ja (1,0,0....),(0,1,0,...),(0,0,1,0,...) sind. Also eigentlich die Einheitsvektoren darstellen. Somit könnte man ja jeden Vektor in s(K) bilden. Wo ist hier mein Denkfehler :? (c) Das Erzeugnis ist ja der Spann von B: $\begin{eqnarray} <B>=\left\{ \sum\limits_{k=1}^{n} \gamma _{k}b_{k} \| \gamma _{k} \in K; b_{k} \in B; n \in \mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$
18.12.2017, 16:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen (a) Scheint mir ungenau. Ich würde mir eine beliebige (endliche) Linearkombination von der Basis nehmen und argumentieren, warum jeder Koeffizient verschwinden muss. Das kann man dann über elementweise betrachtung machen. (b) Der Denkfehler hier wird sein, dass du jede Folge als unendliche Linearkombination der Basis darstellen kannst, aber nicht jede Folge als endliche (!) Linearkombination. (c) Vermutlich ist hier noch gewollt, dass man den Raum etwas anders darstellt.
18.12.2017, 17:27	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Meinst du bei (a), dass ich die Folgen in eine Matrix schreiben soll: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e_{n}^{1} & e_{n}^{2} & e_{n}^{3} & ... & =0\\ 1\gamma _{1} & +0\gamma _{1} & +0\gamma _{1} & ... & =0\\ 0\gamma _{2} & +1\gamma _{2} & +0\gamma _{2} & ... & =0 \\ 0\gamma _{3} & +0\gamma _{3} & +1\gamma _{3} & ... &=0 \\ ... & ... &... \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Woraus sich für alle Gammas=0 ergibt. Somit ist B lin. unabhängig.
18.12.2017, 17:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Ich hätte so argumentiert: Sei $\begin{eqnarray} I \subset \mathbb N \end{eqnarray}$ eine endliche Menge. Seien $\begin{eqnarray} (\gamma_i) \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{i \in I} \gamma_i e_i =0 \end{eqnarray}$ . Eine Folge ist genau dann Null, wenn jede Komponente davon 0 ist. D.h. man betrachtet die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ te Komponente und bekommt $\begin{eqnarray} \left(\sum_{i \in I} \gamma_i e_i\right)_j = \sum_{i \in I} \left(\gamma_i e_i\right)_j = \sum_{i \in I} \gamma_i \delta_{ij} = 0 \end{eqnarray}$ .
18.12.2017, 17:47	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Ich verstehe. Die Idee ist ja eigentlich gleich, wie mit der Matrix, oder? Eben, dass jede Komponente 0 sein muss. zu (b): Es gilt ja: $\begin{eqnarray} <B>=\left\{ \sum\limits_{k=1}^{n} \gamma _{k}b_{k} \| \gamma _{k} \in K; b_{k} \in B; n \in \mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ Ich muss ja also ein festes n wählen. Also benutze ich endlich viele Vektoren um einen weiteren zu konstruieren. Da ich aber - wenn ich die Folgen als unendliche Tupel betrachte - mit endlich vielen Vektoren nur an endlich vielen Tupelstellen einen Eintrag machen kann, ich für das Tupel (1,1,1,.....) aber unendlich viele Einträge brauche, kann <B> kein ES sein. Stimmt diese Überlegung?
18.12.2017, 17:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Im Prinzip ist es die gleiche Idee. Ich war aber so vorsichtig und hab mir nur eine endliche Linearkombination genommen, und ehrlich gesagt habe ich nicht 100% verstanden wie man deine Matrix lesen muss. Zu (b): Genau so ist es.
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18.12.2017, 18:05	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Die Matrix war so gemeint, dass jede Spalte eine der Folgen darstellt. Die Zeile ist dann die komponentenweise Addition, bei der 0 herauskommen muss. Soweit so gut, dann bleibt noch (c): Du meintest ja, dass man <B> anders darstellen soll. Aber wie kann ich das machen? Ich kenne nur die Definition wie ich sie bereits geschrieben habe. Die einzige Möglichkeit die mir da noch auffällt, wäre dann: $\begin{eqnarray} <B> = \left\{ \left(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},...,\gamma _{n},0,0,...\right) \| \gamma _{i} \in K mit i \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}\right\} \end{eqnarray}$
18.12.2017, 18:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Das finde ich schicker. Der Raum wird gerne als $\begin{eqnarray} C_{00} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} C_c \end{eqnarray}$ bezeichnet. Das sind die Folgen mit kompakten Träger. Insbesondere konvergieren alle Folgen dadrin gegen 0. D.h. man erwischt wirklich nur einen kleinen Teil aller Folgen.
18.12.2017, 18:11	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Vielen Dank für deine geduldige und sehr gute Hilfe! Dadurch habe ich es jetzt glaube ich verstanden
18.12.2017, 18:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Folgen Sehr schön

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