Vereinfachte Berechnung einer orthogonalen Projektion

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Soeren90 Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachte Berechnung einer orthogonalen Projektion
Hallo, ich soll eine orthogonale Projektion berechnen und habe dafür auch Formeln bekommen.
Diese werden aber stark vereinfacht wenn ich eine Orthogonalbasis(OGB) und noch weiter vereinfacht wenn ich eine Orthonormalbasis (ONB) bezüglich des gegebenen Skalarproduktes habe.

Mit der Standard-Formel bekomme ich es gut hin, möchte mir in Zukunft aber die Rechnungen gerne erleichtern. Habe aber leider nicht rausfinden können wie ich überprüfe ob es sich um eine OGB oder ONG handelt.

Gegeben ist folgendes






ist die gesuchte Projektion.

Gerne nur ein allgemeiner Ansatz für OGB und OGN

Beste Grüße
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Soeren90,

ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstehe. Aber ich versuch's mal:

Um zu überprüfen, ob eine gegebene Basis orthogonal ist, bildest du alle möglichen Skalarprodukte der verschiedenen Vektoren. Kommt hier immer 0 heraus, so ist die Basis orthogonal.

Um zu überprüfen, ob sie sogar orthonormal ist, bildest du auch noch die Skalarprodukte aller Vektoren mit sich selber (= Quadrat der euklidischen Norm). Kommt hier immer 1 heraus, so ist die Basis sogar orthonormal.

Mit den Standardformeln meinst du wahrscheinlich: Gegeben ein unlösbares LGS Ax=b, A mit mehr Zeilen als Spalten und von maximalem Rang => bilde und löse für eine (Least-Squares-)Bestapproximation das LGS der Normalengleichungen

.

(Die Matrix A enthält im vorliegenden Fall deine Basisvektoren und b ist der Punkt / Ortsvektor v, denn du "versuchst" ja, v als Linearkombination der Basisvektoren darzustellen.)

Nun, wenn deine Basisvektoren sogar orthonormal sind, dann ist (A^T)A einfach die Einheitsmatrix, also (A^T)b direkt dein Lösungsvektor.

LG
sibelius84
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