Stetigkeit

18.12.2017, 20:21

Sarah500

Stetigkeit

Hallo,
ich habe eine kurze Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} r_1, r_2, r_3, \end{eqnarray*}$ . . . eine Abz¨ahlung aller rationalen Zahlen und $\begin{eqnarray*} f : R \rightarrow R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r_n<x} 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in R \backslash Q \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Idee:

Vllt mit Folgenstetigkeit:
sei $\begin{eqnarray*} x_k \in R \backslash Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } x_k =x \end{eqnarray*}$

Dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f(x_k) = f( \lim_{k \to \infty } x_k) =f(x) \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich das am besten?

18.12.2017, 23:24

Sarah500

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RE: Stetigkeit
Kann mir niemand kurz helfen?
Ich verzweifle daran Gott

18.12.2017, 23:46

sibelius84

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Hallo Sarah500,

ich würde es mit Epsilon-Delta versuchen: Zu zeigen ist für irrationales x_0

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in\mathbb R: \; \lvert x-x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also, falls x >= x_0,

$\begin{eqnarray*} \lvert \sum_{r_n<x}2^{-n}-\sum_{r_n<x_0}2^{-n} \rvert = \sum_{x_0\leq r_n<x}2^{-n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Wähle dir zunächst einen Grenzindex N, für den gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=N}^\infty 2^{-n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ (ist dir klar, warum das möglich ist?), und überlege dann, ob du in der Summe f(x)-f(x_0) von oben nicht erreichen kannst, dass sie erst bei diesem N anfängt, indem du x und x_0 mithilfe des delta so eng zusammenquetschst, dass alle rationalen Zahlen, die zu hohe Beiträge für die obige Summe liefern, herausfliegen.

LG
sibelius84

18.12.2017, 23:53

Sarah500

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Danke dir

Wenn ich f(x)-f(x_0) rechne fallen doch eine bestimmte Anzahl an Gliedern weg. Diese Grenze ist doch dann mein N. Die Frage dies sich mir dann stellt, ist wie ich diese Summe von N kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kriege. Kannst du mir da nochmals weiterhelfen?

19.12.2017, 00:03

sibelius84

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Ich fürchte, du hast die Problematik dieser Aufgabe noch gar nicht vollständig verstanden, ist das möglich? Die Summanden in der Ungleichung für die Stetigkeit (mit dem epsilon) wirbeln dir ja total wild durcheinander. In der Summe steht ja 2^(-n), und unten an der Summe steht r_n, wobei die r_n eine Abzählung der rationalen Zahlen sind.
Es geht also darum, dass eine sich über rationale Zahlen erstreckende Summe über 2^(-n), wobei diese n die Indices (!) dieser Abzählung sind, kleiner als epsilon werden soll.

Im Intervall zwischen x und x_0 werden immer unendlich viele rationale Zahlen liegen. Also wird deine Summe auch immer unendlich viele Glieder haben.

Der Ansatz ist nun, die Summe zumindest "spät genug in der Unendlichkeit" beginnen zu lassen, damit man da fast nur noch Nullen aufsummiert. Daher wählt man sich eben, wie von mir bereits weiter oben geschrieben, dieses N, so dass erstmal die "normale", d.h. sich über natürliche Zahlen erstreckende Summe, ab diesem N beginnend, kleiner als epsilon wird.
Dann muss man gucken, wie man 'dieses' N jetzt auf die kompliziertere Geschichte mit den rationalen Zahlen überträgt. Dabei hilft dir, dass die ersten N-1 rationalen Zahlen r_1, ..., r_(N-1) ja endlich viele sind. Wähle also dein delta einfach so klein, dass sie im Intervall zwischen x und x_0 nicht drinliegen. Dann bleibt deine Summe kleiner als epsilon und du hast gewonnen.

19.12.2017, 00:11

Sarah500

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Zitat:

Dann muss man gucken, wie man 'dieses' N jetzt auf die kompliziertere Geschichte mit den rationalen Zahlen überträgt. Dabei hilft dir, dass die ersten N-1 rationalen Zahlen r_1, ..., r_(N-1) ja endlich viele sind. Wähle also dein delta einfach so klein, dass sie im Intervall zwischen x und x_0 nicht drinliegen. Dann bleibt deine Summe kleiner als epsilon und du hast gewonnen.

Den Rest habe ich gut verstanden. Du hattest Recht. Ich hatte die Aufgabe völlig falsch verstanden unglücklich

Ich soll mein delta so klein wählen, wie dass die endliche vielen Ausnahmen nicht drin liegen. Die Theorie dahinter verstehe ich, aber wie finde ich eine korrekte Wahl des deltas?
Wie findet man das in so einer komplizierten Aufgabenstellung konkret? Gott

19.12.2017, 00:17

sibelius84

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Schreibe alle Abstände $\begin{eqnarray*} \lvert r_1 -x_0 \rvert , \lvert r_2 -x_0 \rvert, \ldots, \lvert r_{N-1} -x_0 \rvert \end{eqnarray*}$ in eine Menge. Wie wählst du aus einer Menge ihr kleinstes Element aus? Dafür gibt es eine schöne Notation. Reicht das schon als delta? Wenn du nicht sicher bist, halbiere es lieber vorsichtshalber nochmal.

19.12.2017, 00:21

Sarah500

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D.h ich nehme das $\begin{eqnarray*} min (r_i, x_i)/2 \end{eqnarray*}$ so?

19.12.2017, 05:48

Sarah500

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Ne vllt eher so:

$\begin{eqnarray*} A= \{ r_{i+1} - x_i: i \in N_0 \} \end{eqnarray*}$

Vllt zum Verständnis. Wie würden der rechtseitige bzw. linksseitige Grenzwert in $\begin{eqnarray*} x \in Q \end{eqnarray*}$ aussehen, also dort wo f unstetig ist?

19.12.2017, 09:56

sibelius84

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Was sind denn bei dir nun die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

19.12.2017, 10:09

Sarah500

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Die xi sind irrationale zahlen. Wie würdest du es aufschreiben?
Was ist den Grenzwerten?

19.12.2017, 11:57

sibelius84

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Wenn du den bisherigen Verlauf des threads nochmal durchsiehst, dann wirst du feststellen, dass an keiner Stelle irgendwelche x_i vorkamen. Es kamen nur die rationalen Zahlen r_n und die Stelle x_0 vor. Vielleicht solltest du dich besser erst noch ein wenig damit auseinandersetzen, ansonsten wird es deinem Verständnis nach meiner Vermutung auch nicht helfen, jetzt über die links- und rechtsseitigen Grenzwerte zu sprechen.

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