Fouriertransformation

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19.12.2017, 01:59	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation Hallo, ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen. Zunächst die Voraussetzungen: Es geht um Fouriertransformation. Zur Notation: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty }^{\infty } \! f(x) \, dm(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{- \infty }^{\infty } \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ (9.1), wobei sich $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ auf das Lebesgue-Maß bezieht, ... wir definieren $\begin{eqnarray} (f \ast g)(x) = \int_{- \infty }^{\infty } \! f(x- y)g(y) \, dm(y) , (x\in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ (9.3) ... Ein Hilfssatz: Satz 9.7: ... Setze $\begin{eqnarray} H(t)= e^{-\| t \| } \end{eqnarray}$ , (9.22) und definiere $\begin{eqnarray} h_{\lambda} (x) = \int_{- \infty }^{\infty } \! H(\lambda t)e^{itx} \, dm(t), (\lambda > 0) \end{eqnarray}$ (9.23) Daraus folgt: $\begin{eqnarray} h_{\lambda} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi } } \frac{\lambda}{\lambda^{2} + x^{2} } \end{eqnarray}$ (9.24) Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty }^{\infty } \! h_{\lambda }(x) \, dm(x)= 1 \end{eqnarray}$ . (9.25) Man beachte $\begin{eqnarray} 0 < H(t) \leq 1\ und\ H( \lambda t) \to 1\ fuer\ \lambda \to 0 \end{eqnarray}$ . ... Der zu bew. Satz: Satz 9.9: Ist $\begin{eqnarray} g \in L^{\infty } \end{eqnarray}$ und ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stetig, so ist $\begin{eqnarray} \lim_{\lambda \to 0} (g \ast h_{\lambda}) (x) = g(x) \end{eqnarray}$ . (9.27) Der Beweis: Wegen 9.7(9.25) erhalten wir $\begin{eqnarray} (g \ast h_{\lambda})(x) - g(x) = \int_{- \infty }^{\infty } \! [g(x - y) - g(x)]h_{\lambda}(y) \, dm(y) = \int_{- \infty }^{\infty } \! [g(x - y) - g(x)] \lambda^{-1} h_{1}(\frac{y}{\lambda }) \, dm(y) = \int_{- \infty }^{\infty } \! [g(x - \lambda s) - g(x)]h_{1}(s) \, dm(s). \end{eqnarray}$ Nun meine Fragen zum Beweis: Zur 1.Gleichung: Wieso kann man das $\begin{eqnarray} - g(x) \end{eqnarray}$ in das Integral ziehen Zur 2. Gleichung: Wie wird aus $\begin{eqnarray} h_{\lambda}(y) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \lambda^{-1}h_1(\frac{y}{\lambda}) \end{eqnarray}$ ? Zur 3.Gleichung: Was passiert mit dem $\begin{eqnarray} \lambda^{-1} \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} dm(s)= \lambda^{-1}dm(y) \end{eqnarray}$ ? Würde mich sehr über eure Hilfe freuen
19.12.2017, 08:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Zur 1.Gleichung: Beachte (9.25) Zur 2.Gleichung: Kürze auf der rechten Seite von (9.24) durch $\begin{eqnarray} \lambda ^2 \end{eqnarray}$ Zur 1.Gleichung: Integration mittels Substitution $\begin{eqnarray} s=\frac y \lambda \end{eqnarray}$
19.12.2017, 10:23	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Vielen Dank für die Antwort. Habe ich die 1. Gleichung so richtig verstanden?: $\begin{eqnarray} (g \ast h_{\lambda })(x) - g(x) = \int_{- \infty }^{\infty } \! g(x - y)h_{\lambda }(y) \, dm(y) - g(x)\int_{- \infty }^{\infty } \! h_{\lambda }(y) \, dm(y) = \int_{- \infty }^{\infty } \! g(x - y)h_{\lambda }(y) \, dm(y) - \int_{- \infty }^{\infty } \! g(x) h_{\lambda }(y) \, dm(y) = \int_{- \infty }^{\infty } \! [g(x - y) - g(x)]h_{\lambda }(y) \, dm(y) \end{eqnarray}$
19.12.2017, 11:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation
19.12.2017, 15:26	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Ok, klasse! Wie zeige ich, dass der letzte Integrand durch $\begin{eqnarray} 2 \Vert g \\|_{\infty}h_{1}(s) \end{eqnarray}$ beschränkt und für $\begin{eqnarray} \lambda \to 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ pktw. gg. 0 konvergiert? Es müsste ja $\begin{eqnarray} 2 \Vert g \\|_{\infty}h_{1}(s) = 2\sup\limits_{\mathbb R }\| g(x) \| h_{1}(s) \end{eqnarray}$ sein, richtig? Und Wieso konvergiert das gg 0? Benutzt man noch irgendwie die Stetigkeit von g in x?
19.12.2017, 15:50	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation * $\begin{eqnarray} 2\sup\limits_{\mathbb R }\| g \| h_{1}(s) \end{eqnarray}$ Ok die Abschätzung habe ich verstanden, aber wie folgt dir punktweise Konvergenz?
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19.12.2017, 16:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Du musst zeigen, dass bei festem s der Ausdruck $\begin{eqnarray} [g(x - \lambda s) - g(x)]h_{1}(s) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda \to 0 \end{eqnarray}$ auch gegen Null geht. Das folgt sofort aus der Stetigkeit von g in x
19.12.2017, 21:18	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} (g \ast h_{\lambda}) \end{eqnarray}$ komplex messbar ist? Ich möchte den Satz über dominierte Kvgz anwenden. Messbarkeit hatte ich noch nicht.
19.12.2017, 21:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation Du weißt nicht, was Messbarkeit ist, willst aber zeigen, dass eine Funktion messbar ist? Was soll ich darauf antworten? Lies nach

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