Quotientenraum - Seite 2

20.12.2017, 08:59

Melanie233

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Tut mir leid. Ich will deine Zeit nicht verschwenden unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v=w)\Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v=w) \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v-w=0) \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
Dann hast du gesagt 0 ist ja in jedem Unterraum nach Def. Dann ist auch klar, dass 0 im Durchschnitt von 2 Unterräumen liegt.D.h auch dann das 0=v-w in diesem Durchschnitt liegen muss und das bedeutet v=w.

20.12.2017, 11:39

Elvis

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Anscheinend hast du die Behauptung vergessen. Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$

Wir haben gezeigt : $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V:v-w\in U_1\cap U_2\Rightarrow v-w=0) \end{eqnarray*}$

Also ist noch zu zeigen (oder zu begründen) : $\begin{eqnarray*} (\forall v,w\in V:v-w\in U_1\cap U_2\Rightarrow v-w=0)\Leftrightarrow U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$

20.12.2017, 12:04

Melanie233

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Das habe ich ja versucht zu begründen. Wo ist denn der Denkfehler bei mir?

20.12.2017, 12:10

Elvis

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Du hast es nicht begründet, nicht einmal versucht. Du hast stattdessen die Aussage $\begin{eqnarray*} 0=U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ durch die viel schwächere Aussage $\begin{eqnarray*} 0\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ ersetzt.

20.12.2017, 12:13

Melanie233

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Ja stimmt. Du hast Recht. Aber ich sehe auch nicht wie ich es besser begründen kann? verwirrt

verwirrt

20.12.2017, 12:35

Elvis

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Das kann ich nicht glauben, weil eine Richtung trivial ist. Die andere Richtung ist auch sehr einfach.

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20.12.2017, 13:03

Melanie233

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Kannst du mir mal eine Richtung zeigen. Ich glaube ich verstehe etwas falsch.

20.12.2017, 13:46

Elvis

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Bist ein bißchen denkfaul ? $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2=\{0\}\Rightarrow (v-w\in U_1\cap U_2\Rightarrow v-w=0) \end{eqnarray*}$ Geht's noch trivialer ? Wenn eine Menge nur ein Element enthält, und man nimmt ein Element aus dieser Menge, dann ist es dieses eine Element.
Du siehst aber hoffentlich spätestens jetzt ein, dass 0 im Durchschnitt nicht genügt. Nur wenn 0 das einzige Element im Durchschnitt ist, ist v-w im Durchschnitt garantiert immer gleich 0.

20.12.2017, 13:54

Melanie233

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D.h es fehlt jetzt noch : $\begin{eqnarray*} (\forall v,w\in V:v-w\in U_1\cap U_2\Rightarrow v-w=0)\Rightarrow U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$
Und ich muss zeigen, dass 0 das einzige Element des Durchschnitts ist.

20.12.2017, 14:08

Elvis

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genau, eine kleine Idee fehlt noch ... je länger ich das ansehe, desto trivialer erscheint es mir.

keine Zeit mehr :

$\begin{eqnarray*} v\in U_1\cap U_2\Rightarrow (v-0\in U_1\cap U_2\Rightarrow v-0=0)\Rightarrow v=0\Rightarrow U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$

20.12.2017, 18:18

Melanie233

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Ok ich denke ich habe es verstanden. Aber ich hätte gedacht, dass wir in Äquivalenzen beweisen. Den letzten Schritt müssen wir dann doch in Hin und Rückrichtung zeigen.

20.12.2017, 18:31

Elvis

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Jede Äquivalenz schreibt man hin, überlegt sich für beide Richtungen eine gute Begründung, schreibt die Begründungen auf, damit man sie nicht vergißt und damit man sie anderen Leuten erklären kann, und bei Bedarf zerlegt man einzelne Äquivalenzen, die nicht ganz offensichtlich sind in weitere Äquivalenzen, Implikationen oder Teilschritte oder was auch immer notwendig und sinnvoll ist.

Für mich war die simple Idee für den Hilfssatz, nämlich $\begin{eqnarray*} (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2)\Leftrightarrow v-w\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ völlig ausreichend, um den gesamten Beweis in allen Details zu erahnen, vor meinem inneren Auge zu sehen, oder wie immer man das nennen möchte. Dann habe ich ihn in 3 Zeilen aufgeschrieben und mir überlegt, warum alles seine Richtigkeit hat.

Für dich mussten wir etwas mehr Aufwand treiben, macht ja nichts, es gibt keine Vorschriften, wie kurz oder wie lang ein Beweis sein muss. Man führt einen Beweis so aus, dass man ihn selbst in allen Einzelheiten versteht, vorführen und so erläutern kann, dass ihn jede/r andere auch verstehen kann.

Welche Ideen hast du für die Surjektivität ?

20.12.2017, 19:27

Elvis

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Heureka, ich hab's. Tanzen

Tanzen

Das war ein schwerer Brocken.

20.12.2017, 20:22

Melanie233

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Kannst du mir einen Tipp geben smile

smile

20.12.2017, 21:45

Elvis

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Ich kann, aber ich will noch nicht. Wenn wir so weiter machen wie im letzten Teil, wird deine Kreativität unterfordert. Das wäre nicht gut für dich. Es gibt mehr als einen Weg, die Aufgabe weiter zu bearbeiten. Die Aufgabe ist sehr interessant, wichtig und lehrreich. Du lernst bestimmt mehr dabei, wenn du jetzt eigene Ideen und Ansätze für die weiteren Beweise entwickelst. Also fang an, lass mich wissen wie du voran kommst, und wenn es wirklich nicht mehr weiter geht, bin ich gerne wieder für dich da.

20.12.2017, 23:27

Melanie233

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Danke dir Elvis. Es macht Spaß mit dir zu schreiben und die Lösung von Problemen zu erarbeiten.
Ich werde morgen meine Ideen zu einem Beweis zu formen und dir mitteilen smile

smile

Freude

Wink

21.12.2017, 17:59

Melanie233

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Hallo Elvis smile

smile

Also ich habe bis jetzt die Hinrichtung herausgefunden:

Sei f surjektiv und $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (v+U_1, U_2) \in V/U_1 \times V/U_2 \end{eqnarray*}$

Da f surjektiv $\begin{eqnarray*} \exists u \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(u)=(v + U_1, U_2) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} (v + U_1, U_2)= (u + U_1,u+ U_2) \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} (v-u) \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \in U_2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} v=(v-u) +u \in U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ . also folgt die Behauptung.

Was sagst du?

21.12.2017, 18:39

Elvis

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Das gefällt mir, es hat es sich offenbar gelohnt, dass du selbst etwas getan hast. Nachdem du den schwierigen Teil geschafft hast, werden deine mathematischen Fähigkeiten den leichteren Teil mühelos bewältigen.

Mein Beweis ist erheblich komplizierter ausgefallen.

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.
Annahme : $\begin{eqnarray*} U_1+U_2<V=: (U_1+U_2)\oplus U_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\ne v\ne w\ne 0, v,w\in U_3 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ ein Urbild von $\begin{eqnarray*} (v+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=(x+U_1,x+U_2)=(v+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v-x\in U_1,w-x\in U_2\Rightarrow v-x-w+x\in U_1+U_2\Rightarrow v-w\in (U_1+U_2)\cap U_3\Rightarrow v-w=0 \end{eqnarray*}$ WIDERSPRUCH !

21.12.2017, 18:54

Melanie233

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Das freut mich, dass es richtig ist.
Auf deinen Beweis wäre ich leider nicht gekommen.
Naja ich versuche mal die andere Richtung smile

smile

21.12.2017, 19:13

Elvis

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Auf die Idee für meinen Beweis durch Widerspruch bin ich erst nach langem Nachdenken durch die Frage gekommen "wo kann ich nach nicht erreichbaren Bildern suchen, wenn die surjektive Funktion f den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ erreicht ?" Dass die surjektive Funktion f den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ erreicht, steht ja praktisch schon im Aufgabentext. Nicht erreichbare Bilder können also nur außerhalb von $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ liegen, und sie müssen verschieden sein. Also ergänze ich durch direkte Summe mit $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ , der Rest geht von selbst.

21.12.2017, 19:25

Melanie233

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Also die andere Richtung:

Sei $\begin{eqnarray*} (v_1 + U_1, v_2 + U_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in V/U_1 \times V/ U_2 \end{eqnarray*}$ beliebig. Wegen $\begin{eqnarray*} V= U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} u_1,w_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2, w_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} v_1=u_1+ u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 = w_1+w_2 \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} (v_1 + U_1, v_2 + U_2) = (u_1+ u_2 + U_1, w_1+w_2 + U_2) =( u_2 + U_1, w_1+ U_2) \end{eqnarray*}$
Es gilt aber $\begin{eqnarray*} f(u_2+w_1)= (u_2+w_1 + U_1, u_2+w_1 + U_2) = ( u_2 + U_1, w_1+ U_2) \end{eqnarray*}$

Also f surjektiv.

Zitat:

Original von Elvis
Auf die Idee für meinen Beweis durch Widerspruch bin ich erst nach langem Nachdenken durch die Frage gekommen "wo kann ich nach nicht erreichbaren Bildern suchen, wenn die surjektive Funktion f den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ erreicht ?" Dass die surjektive Funktion f den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ erreicht, steht ja praktisch schon im Aufgabentext. Nicht erreichbare Bilder können also nur außerhalb von $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ liegen, und sie müssen verschieden sein. Also ergänze ich durch direkte Summe mit $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ , der Rest geht von selbst.

Das ist eine sehr gute Idee. Ich finde es spannend, wie so ein Beweis auf verschiedene Arten funktionieren kann. Und man lernt dabei voneinander smile

smile

21.12.2017, 19:43

Elvis

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Genau so, das ist naheliegend, deshalb habe ich das auch so gemacht (mit x,y statt u,w).

Der Teil (iii) der Aufgabe ist nun trivial, einfach aufschreiben, fertig.

21.12.2017, 19:49

Melanie233

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Ja jetzt ist alles klar. Ich danke dir für deine Hilfe. Ich habe viel gelernt mit dir smile

smile

Vllt können wir mal wieder über einen Beweis diskutieren Freude

Freude

Big Laugh

Freude

21.12.2017, 19:52

Elvis

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Zitat:

Original von Melanie233
Und man lernt dabei voneinander

Wenn Mathematiker nicht zusammen arbeiten und voneinander lernen würden, säßen wir heute noch auf den Bäumen. Big Laugh

Big Laugh

21.12.2017, 20:09

Melanie233

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Big Laugh

Big Laugh

22.12.2017, 19:44

Elvis

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Zusatzfrage: Hätten wir das auch locker leicht über Dimensionsbetrachtung beweisen können ?

$\begin{eqnarray*} dim(V/U)=dim(V)-dim(U)\Rightarrow dim(V/U\times V/W)=dim(V/U)+dim(V/W)=dim(V)-dim(U)+dim(V)-dim(W) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} dim(V/U)+dim(V/W)=dim(V)\Leftrightarrow U\oplus W=V \end{eqnarray*}$ . Liefert $\begin{eqnarray*} f:V\to V/U\times V/W \end{eqnarray*}$ genau für diesen Fall einen kanonischen Isomorphismus ?

23.12.2017, 09:39

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis
Zusatzfrage: Hätten wir das auch locker leicht über Dimensionsbetrachtung beweisen können ?

$\begin{eqnarray*} dim(V/U)=dim(V)-dim(U)\Rightarrow dim(V/U\times V/W)=dim(V/U)+dim(V/W)=dim(V)-dim(U)+dim(V)-dim(W) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} dim(V/U)+dim(V/W)=dim(V)\Leftrightarrow U\oplus W=V \end{eqnarray*}$

Hallo Elvis,
ich hätte vorher eine Frage, wie du auf diese Dimensionsgleichung kommst:

Das sich die Dimensionen bei dem kartesischen Produkt addieren ist egtl klar.
Folgt dann der letzte Teil einfach, da es sich um eine direkte Summe handelt?

23.12.2017, 11:31

Elvis

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Die letzte Zeile ist eine Äquivalenz. Das cartesische Proukt $\begin{eqnarray*} V/U\times V/W \end{eqnarray*}$ hat genau dann dieselbe Dimension wie $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ die direkte Summe von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist. ( $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hießen früher einmal $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ .)

Ich vermute, dass uns diese Erkenntnis unter Umständen einen Teil der Arbeit erspart hätte. Der Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist mir aber noch nicht restlos klar.

23.12.2017, 11:50

Melanie233

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Also muss derart gestaltet sein, dass f bijektiv und strukturerhaltend ist.
D.h muss v wird auf ( v+U_1, v + U_2) abgebildet werden oder?

23.12.2017, 12:50

Elvis

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So ist f definiert, aber daraus lässt sich noch nicht viel schließen. Ich dachte an folgendes: Wenn V endlich-dimensional ist, dann sind es auch Untervektorräume und Quotientenräume. Eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist. f linear und injektiv zusammen mit der Dimensionsformel beweist also alle Aussagen der Aufgabe, und wir hätten uns den Beweis der Surjektivität sparen können. Eventuell geht es sogar noch einfacher ... aber da bin ich mir nicht sicher.

23.12.2017, 21:55

Melanie233

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Ich verstehe. smile

smile

Das ist wirklich noch eine schöner Weg Daran sieht man wieder, wie viele Möglichkeiten es doch gibt, eine Aufgabe anzugehen, zu durchdenken und letztlich zu lösen. smile

smile

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