Quotientenraum

19.12.2017, 15:47

Melanie233

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RE: Quotientenraum

Hallo,
Ich habe die Aufgabe als Anhang beigefügt.

Dabei geht es mir um das richtiges Vorgehen. Beispielsweise bei i)

Ich habe ja die Abbildung $\begin{eqnarray*} \pi(v)=( v+U_1, v+U_2) \end{eqnarray*}$
Ich muss dann zeigen dass $\begin{eqnarray*} \pi(v+w)= \pi(v)+ \pi(w) \end{eqnarray*}$ ist.
Also $\begin{eqnarray*} \pi(v+w)= (v+w+U_1, v+w+U_2) \end{eqnarray*}$
Wenn ich mir dann $\begin{eqnarray*} \pi(v)+ \pi(w)=(v+U_1,v+U_2) + (w+U_1, w+U_2) = (v+w+U_1, v+w+U_2 \end{eqnarray*}$ denn z.b
$\begin{eqnarray*} v+U_1 +w+U_1 =v+w+U_1 \end{eqnarray*}$ Das folgt aus der.Defintion der Rechenregeln im Quotientenraum
Dann muss noch gezeigt werden,
$\begin{eqnarray*} \pi(av)=a\pi(v) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \pi(av)= (av+U_1, av+U_2) \end{eqnarray*}$
Jedoch $\begin{eqnarray*} a\pi(v)=a (v+U_1, v+U_2)=(av+U_1,av+U_2) \end{eqnarray*}$ wieder nach Rechenregeln.Also linear.
Stimmt das? smile

smile

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

19.12.2017, 18:21

Elvis

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Bis dahin stimmt alles.

19.12.2017, 18:27

Melanie233

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Das freut mich. Jetzt wird es für mich schwierig.
Bei der ii) muss ich ja hin und Rückrichtung zeigen:
Kannst du mir bitte einen Tipp geben für Hin und Rückrichtung. smile

smile

19.12.2017, 18:33

Elvis

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Formuliere die Gleichheit $\begin{eqnarray*} (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$ um, dann geht der Beweis wie von selbst.

19.12.2017, 18:37

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis
Formuliere die Gleichheit $\begin{eqnarray*} (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2) \end{eqnarray*}$ um, dann geht der Beweis wie von selbst.

Meinst du $\begin{eqnarray*} v+U_1 = w + U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v+U_2=w+U_2 \end{eqnarray*}$

Ich weist nicht genau, wie du das meinst mt dem Umformulieren?

19.12.2017, 18:39

Elvis

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Fast fertig, subtrahiere in beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ .

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19.12.2017, 18:43

Melanie233

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Meinst du $\begin{eqnarray*} v+U_1 = w + U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v+U_2=w+U_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v-w+U_1 = U_1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} v-w+U_2 = U_2 \end{eqnarray*}$

Wie sieht man jetzt,dass $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2=0 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 18:47

Melanie233

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Vllt wenn ich die Gleichungen miteiander schneide gilt v=w, wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 =0 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 18:49

Elvis

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Das kann man unmöglich sehen, denn es soll ja erst viel später bewiesen werden, dass das genau dann der Fall ist, wenn f injektiv ist.

Formuliere weiter um. Was heißt es, dass x+U=U ist ?

19.12.2017, 18:52

Melanie233

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D.h doch dass v-w=0 sein muss, also v=w oder?

19.12.2017, 18:52

Elvis

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Nein, das heißt es nicht.

19.12.2017, 18:53

Melanie233

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aso, d.h $\begin{eqnarray*} v-w \in U \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 18:55

Elvis

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Du meinst $\begin{eqnarray*} x+U=U\Leftrightarrow x\in U \end{eqnarray*}$ . Wo ist jetzt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in deiner Aufgabe ?

19.12.2017, 18:56

Melanie233

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Ja sorry. Etwas unpräzise. Also dann ist $\begin{eqnarray*} v-w \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v-w \in U_2 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 18:58

Elvis

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Ein Element ist in einer Menge A und dasselbe Element ist in einer Menge B kann man eleganter formulieren. Siehe Mengenlehre allererste Stunde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.12.2017, 19:01

Melanie233

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Also dann gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = v-w \end{eqnarray*}$ Da f injektiv muss gelte $\begin{eqnarray*} n v=w \end{eqnarray*}$ also v $\begin{eqnarray*} -w0 \rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 =0 \end{eqnarray*}$ so oder?

19.12.2017, 19:03

Elvis

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Du bist viel zu schnell. Schreibe bitte erst einmal auf, was für $\begin{eqnarray*} v-w \end{eqnarray*}$ gilt.

19.12.2017, 19:04

Melanie233

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Ich hätte gedacht dass v-w =0 sein muss verwirrt

verwirrt

19.12.2017, 19:05

Elvis

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Nein, wir waren schon viel weiter.

19.12.2017, 19:06

Melanie233

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Du meinst das: $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = v-w \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 19:09

Elvis

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Falsch. Du wolltest eleganter schreiben
$\begin{eqnarray*} (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2)\Leftrightarrow v-w \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v-w \in U_2 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 19:12

Melanie233

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Achso: so muss es ein
Du meinst das: $\begin{eqnarray*} v-w \in( U_1 \cap U_2) = \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 19:16

Elvis

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Nein, ich meine, wir haben den Hilfssatz bewiesen

$\begin{eqnarray*} (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2)\Leftrightarrow v-w \in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$

(Ich hatte gesagt, formuliere die Gleichheit um, dann geht alles wie von selbst)

Wir kommen jetzt zum Beweis des Satzes.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V:f(v)=f(w)\Rightarrow v=w)\Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 19:22

Melanie233

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Also dann $\begin{eqnarray*} ... \Leftrightarrow v-w =0 \Leftrightarrow 0 \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$
oder?

19.12.2017, 19:29

Elvis

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Viel zu schnell und viel zu verstümmelt. "Melanie muss lernen, in ganzen Sätzen zu sprechen." Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V:f(v)=f(w)\Rightarrow v=w)\Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

Bitte ersetze im nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(w) \end{eqnarray*}$ durch die Werte, so wie sie definiert sind. Dann benutze den Hilfssatz, und dann mache langsam und sinnvoll weiter. Wir sind kurz vor dem Ziel, das erreichen wir aber nur, wenn wir langsam vorwärts schreiten, wer schneller läuft als sie denken kann, fällt aufs Maul. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.12.2017, 19:37

Melanie233

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Ok dann habe ich:

... $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (v+U_1, v+U_2)= (w+U_1, w+U_2) \end{eqnarray*}$ mit dem Hilfssatz folgt
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow v-w \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ . Da f injektiv ist gilt v=w, d.h. v-w=0 und damit
$\begin{eqnarray*} 0 \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ ´

19.12.2017, 19:43

Elvis

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Das geht so nicht. Du musst logisch vollständige Umformungen machen, d.h. "in ganzen Sätzen sprechen". Ich will dir nicht alles aufschreiben, das kannst du nach all der Vorarbeit selbst machen. Es ist nur ein wenig Fleiß nötig, sonst nichts.

19.12.2017, 19:44

Melanie233

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Aber ich brauche keine Rückrichtung zeigen, da alles Äquivalenzen sind oder?

19.12.2017, 19:46

Elvis

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Ja, deine letzten 2 Schritte sind aber inhaltlich unsinnig. Die ersten beiden Schritte sind "nur" verstümmelt.

19.12.2017, 19:47

Melanie233

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... $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (v+U_1, v+U_2)= (w+U_1, w+U_2) \end{eqnarray*}$ mit dem Hilfssatz folgt
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow v-w \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ .
Also bis dahin stimmt es?

19.12.2017, 19:50

Elvis

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Grausame Verstümmelung ! Es fehlen Klammern "(",")", Quantoren " $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ " und Implikationen " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

19.12.2017, 19:53

Melanie233

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... $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (v+U_1, v+U_2)= (w+U_1, w+U_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow( v-w) \in (U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$

Ist das nicht mehr so verstümmelt?

19.12.2017, 19:56

Elvis

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Doch, es fehlt leider alles, worauf es ankommt. Vorschlag: Ersetze in der Klammer, die ich geschrieben habe, so wenig wie möglich und kopiere alles andere.

19.12.2017, 19:57

Melanie233

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Aber was denn genau. Kannst du zeigen bitte, wie es richtig sein muss. Anscheinend verstehe ich das ja nicht unglücklich

unglücklich

19.12.2017, 20:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V:f(v)=f(w)\Rightarrow v=w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v+U_1,v+U_2)=(w+U_1,w+U_2)\Rightarrow v=w)\Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 20:08

Melanie233

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Ich bin so blöd unglücklich

unglücklich

Du hast ja geschrieben Aus f(v)=f(w) folgt v=w. Dann muss ja auch eingesetzt wieder folgen v=w. Jetzt ist das viel logischer formalisiert. Danke, dass du so geduldig bist, bis jetzt smile

smile

Freude

Dann geht es weiter mit dem Hilfssatz

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v=w)\Leftrightarrow 0 \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$

wobei ich im letzten Schritt nicht so sicher bin von der Logik

19.12.2017, 21:22

Melanie233

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Dann für iii)

f surjektiv $\begin{eqnarray*} (\Leftrightarrow y \in (\frac{V}{U_1} \times \frac{V}{U_2}) \exists x \in V : f(x)=y) \end{eqnarray*}$

Vorüberlegung $\begin{eqnarray*} y= f(x)= (x+U_1, x+ U_2) \end{eqnarray*}$ d.h wenn f surjektiv ist, muss $\begin{eqnarray*} y=(x+U_1)\cap(x+U_2) \end{eqnarray*}$

Ist wsl der falsche weg.Wie würde es richtig gehen?

19.12.2017, 21:50

Elvis

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Du bist nicht blöd, du bist ungeduldig. Zur Injektivität: in der letzten Klammer darfst du v=w ersetzen durch v-w=0. Dann kann man sich überlegen, dass das alles äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$
Dass 0 im Durchschnitt liegt ist sowieso klar, weil der Nullvektor in jedem Untervektorraum liegt.
Über die Surjektivitaet habe ich noch nicht nachgedacht, ..., morgen ist auch noch ein Tag.

19.12.2017, 22:20

Melanie233

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Also dann versuche ich es so:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v=w)\Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v=w) \Leftrightarrow (\forall v,w\in V: (v-w) \in (U_1 \cap U_2) \Rightarrow v-w=0) \Leftrightarrow 0 \in (U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$

Warum folgt das letzte nicht direkt so. Was muss man sich da überlegen.
Wäre schön, wenn wir dann noch die letzen beiden Aufgaben machen. Ich lerne viel mit dir Freude

Freude

smile

20.12.2017, 08:05

Elvis

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Lies bitte, was ich schreibe, sonst hast du keinen Vorteil davon, und ich habe keine Lust, meine Zeit zu verschwenden. Der Nullvektor ist in jedem Vektorraum, also auch im Durchschnitt von 2 UVRen. Daraus folgt nichts, also auch nicht die Injektivität einer Funktion.

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